Soal dan Pembahasan Ujian Nasional (UN) Fisika 2017 – (Mekanika bagian 1)

Sebagai persiapan untuk menghadapi Ujian Nasional Fisika tahun 2018 mendatang, eduFisika menyajikan pembahasan soal-soal Ujian Nasional Fisika pada tahun 2017 lalu. Penyajian soal dan pembahasan ini sebagai refleksi bagi Adik-adik SMA yang akan menghadapi Ujian Nasional khususnya mata pelajaran fisika. Pembahasan soal yang dilakukan eduFisika sengaja dibuat panjang, agar Adik-adik dapat sekaligus memahami ide penyelesaian soal tersebut. Dengan demikian, diharapkan agar selain menguasai cara penyelesaiannnya, Adik-adik juga memahami konsep fisika sekaligus logika dalam penyelesaian soal tersebut.

Karena pembahasan soal demi soal relatif panjang, maka eduFisika membaginya menjadi beberapa bagian. Pada bagian I, ini pembahasan soal ini meliputi soal-soal tentang mekanika. Pada tulisan yang lain akan dibahas materi soal yang lainnya, misalnya suhu dan kalor, fluida, listrik-magnet, dan sebagainya. Yuk, kita mulai.

Soal 1:

Sebuah partikel bergerak dari titik awal (0,0) ke arah utara menuju titik P(2,4) dalam waktu 2 sekon. Partikel kemudian bergerak ke arah barat selama 4 sekon sampai titik Q (8,12). Besar kecepatan rata-rata dari P ke Q adalah…

Pembahasan :

Masih ingat definisi kecepatan rata-rata?

Kecepatan rata-rata didefinisikan sebagai perubahan posisi (perpindahan) dalam satu selang waktu tertentu.

Untuk memudahkan menjawab soal ini, mari kita gambarkan vektor posisi partikel di titik P (panah biru) dan di titik Q (panah merah) seperti berikut.

Perpindahan partikel dari P ke Q dinyatakan oleh panah warna kuning. Besar perpindahan yang dinyatakan oleh panjang garis panah kuning adalah :
$$s = \sqrt {{x^2} + {y^2}} = \sqrt {{6^2} + {8^2}} = \sqrt {100} = 10{\rm{satuan panjang}}$$

Selang waktu yang dibutuhkan untuk melakukan perpindahan dari P ke Q adalah 4 sekon, sehingga kecepatan rata-ratanya adalah :
$$\bar v = \frac{s}{t} = \frac{{10}}{4} = 2,5\ {\rm{m/s}}$$

Soal 2:

Sebuah benda yang bergerak lurus ditunjukkan oleh grafik v-t berikut.

Percepatan terbesar yang dialami benda terjadi pada selang waktu…

Pembahasan :

Ingat bahwa percepatan adalah perubahan kecepatan per satuan waktu, atau

$$a = \frac{{{v_1} – {v_o}}}{{{t_1} – {t_o}}} = \frac{{\Delta v}}{{\Delta t}}$$

Dalam pelajaran matematika tentang grafik, pembagian antara sumbu y terhadap sumbu x tidak lain adalah tangen dari sudut (theta ) yaitu sudut yang diukur dari sumbu x ke arah yang berlawanan dengan arah putaran jarum jam, seperti gambar berikut.

$$\tan \theta = \frac{y}{x}$$ Nilai tangen $\theta $ sendiri menunjukkan kecuraman grafik. Semakin besar tangen $\theta $ maka semakin curam grafik dan sebaliknya.

Nah, jika dibandingkan grafik y-x di atas dengan grafik v-t yang diberikan dalam soal, nampak bahwa keduanya identik dimana y adalah v dan x adalah t.

Dengan demikian, percepatan $a = \frac{{\Delta v}}{{\Delta t}}$ tidak lain adalah $\theta $. Berarti besar atau kecilnya nilai a ditentukan oleh kemiringan garis dalam grafik v-t.

Jika garis kurva curam ke bawah, seperti ruas garis BCD, hal itu menunjukkan terjadinya perlambatan.

Berdasarkan penjelasan di atas, kita dapat menjawab pertanyaan soal bahwa kecepatan terbesar di alami oleh benda pada selang waktu dari 2 sekon ke 3 sekon (ruas garis AB) karena ruas garis ini paling curam di antara ruas garis lainnya.

Soal 3:

Posisi sudut partikel yang melakukan gerak melingkar mengikuti persamaan : $$\theta = {t^3} – 4t + 5\ rad$$. Kecepatan sudut partikel ketika t = 2 sekon adalah …

Pembahasan:

Jika posisi diketahui sebagai fungsi dari waktu t, maka kecepatan dapat ditentukan berdasarkan definisi bahwa kecepatan tidak lain merupakan turunan pertama fungsi posisi terhadap waktu. Ini berlaku baik gerak linear maupun gerak melingkar. Dalam soal ini adalah gerak melingkar. Fungsi posisinya terhadap waktu :

$$\theta = {t^3} – 4t + 5$$

Kecepatan sudut :

$$\omega = \frac{{d\theta }}{{dt}} = \frac{d}{{dt}}({t^3} – 4t + 5) = 3{t^2} – 4$$

Untuk t = 2 sekon maka :

$$\omega = 3{(2)^2} – 4 = 8\ {\rm{rad/s}}$$

Soal 4:

Perhatikan gambar gerak parabola berikut ini.

Perbandingan besar kecepatan di titik A, B, dan C, berturut-turut adalah …

Pembahasan:

Perhatikan beberapa sifat dari gerak parabola: (1) merupakan perpaduan dua jenis gerak: gerak GLB (kecepatan konstan) pada arah sumbu-x dan gerak GLBB pada arah sumbu-y, (2) kecepatan di titik A sama dengan kecepatan di titik C kecuali arahnya yang berbeda. (3) di titik tertinggi (titik B dalam gambar di atas) komponen kecepatan dalam arah sumbu y = nol tetapi komponen kecepatan sumbu x-nya tetap memiliki nilai yaitu sama dengan dengan nilai komponen kecepatan sumbu x mula-mula, (4) semua titik yang memiliki ketinggian yang sama pada lintasan gerak parabola memiliki nilai kecepatan yang sama tetapi arahnya berlawanan.

Dari pemahaman keempat sifat-sifat di atas dapat disimpulkan bahwa perbandingan besar kecepatan yang sesuai di titik A, B, dan C, berturut-turut adalah : 2 : 1 : 2 (perhatikan bahwa nilai kecepatan A dan C harus sama dan nilai kecepatan di B harus lebih kecil).

Bukti : berdasarkan sifat no. (2) di atas, maka v_A = v_B = 80 m/s. Untuk poin no. (3) komponen kecepatan sumbu x di titik B atau v_xB = 80 cos 60^o = 80 x ½ = 40 m/s. Sedangkan komponen kecepatannya dalam sumbu y adalah nol sehingga kecepatan di titik B adalah

$${v_B} = \sqrt {v_x^2 + v_y^2} = \sqrt {{{40}^2}} = 40\ {\rm{m/s}}.$$

Jadi perbandingan kecepatan di A, B, dan C adalah : 80 : 40 : 80 = 2 : 1 : 2

Soal 5:

Sebuah mobil balap menempuh tikungan miring dengan jari-jari 120 m dan sudut kemiringan jalan = (theta) (tan (theta) = 4/3), maka kecepatan maksimum mobil agar tidak slip adalah ….

Pembahasan :

Saat mobil bergerak melalui lintasan melengkung, maka mobil akan mengalami gerak melingkar. Pada setiap gerak melingkar, benda (mobil) pasti mengalami gaya sentripetal. Jadi, untuk setiap soal yang seperti ini, kita harus dapat menentukan gaya apa yang berperan sebagai gaya sentripetal. Gaya yang berperan sebagai gaya sentripetal dapat ditentukan dengan menggambarkan diagram gaya pada benda.

Gaya sentripetal secara umum dinyatakan dengan persamaan :

$${F_{sp}} = m\frac{{{v^2}}}{R}$$

dengan m adalah massa benda, v adalah kecepatan linear benda, dan R adalah jejari kelengkungan lintasan. Dari gambar di atas, gaya sentripetal diberikan oleh

$${F_{sp}} = N\sin \alpha $$

Jadi:

$$m\frac{{{v^2}}}{R} = N\sin \alpha \ \ \Rightarrow \ \ v = \sqrt {R\frac{N}{m}\sin \alpha } $$

Sebelum menghitung v pada persamaan di atas, terlebih dahulu kita harus menentukan N. (Hati-hati: N tidak sama dengan mg dalam kasus di atas). Untuk menentukan N, kita gunakan hukum Newton untuk komponen gaya arah sumbu y. Karena tidak terdapat gerakan dalam sumbu y, maka percepatan arah sumbu y = 0 sehingga menurut hukum Newton:

$$\sum {{F_y} = m{a_y} = 0} $$

Masukkan nilai N ini ke dalam persamaan v maka diperoleh

$$N\cos \alpha – mg = 0\ \ \Rightarrow \ \ N = \frac{{mg}}{{\cos \alpha }}$$

Untuk $\tan \alpha = 4/3$ dan R = 120 m maka

$$v = \sqrt {Rg\tan \alpha } = \sqrt {120 \times 10 \times {\textstyle{4 \over 3}}} = 40\ {\rm{m/s}}$$

Soal 6:

Empat roda terhubung seperti pada gambar berikut ini.

Jari-jari r_A = 4 cm, r_B = 2 cm, r_C = 3 cm, dan r_D = 1 cm dan kecepatan linear roda A sebesar 12 m.s^-1 maka kecepatan sudut roda D adalah …

Pembahasan :

Ingat aturan berikut ini:
(1) Jika dua buah roda sepusat bergerak, maka kecepatan sudut kedua roda akan sama. (istilah sepusat berarti kedua roda memiliki pusat yang sama, seperti roda A dan roda B dalam gambar)
(2) Jika dua buah roda yang dihubungkan dengan rantai atau tali bergerak, maka kecepatan linear kedua roda akan sama (seperti bola B dan C pada gambar)
(3) Jika dua buah roda bersinggungan bergerak, maka kecepatan linear kedua roda akan sama namun berlawanan arah seperti roda C dan D.

Karena kecepatan linear roda A diketahui, maka kita harus menghubungkan roda A, roda B, roda C, dan roda D satu sama lain untuk menghitung kecepatan sudut roda D dengan menggunakan aturan di atas. Roda A sepusat dengan roda B, maka

$${\omega _A} = {\omega _B}\ \ \Rightarrow \ \ \frac{{{v_A}}}{{{r_A}}} = \frac{{{v_B}}}{{{r_B}}}$$

Ingat bahwa: $v = r\omega $. Karena roda B dihubungkan dengan tali ke roda C, maka ${v_B} = {v_C}$.

v_B dapat dinyatakan dalam bentuk variabel roda A berdasarkan persamaan (1) yaitu

$${v_B} = \frac{{{v_A}}}{{{r_A}}}{r_B} = {v_C}$$

Selanjutnya, roda C bersinggungan dengan roda D sehingga:

$${v_C} = – {v_D} = \frac{{{v_A}}}{{{r_A}}}{r_B}$$

Karena kecepatan sudut dinyatakan dengan persamaan $\omega = \frac{v}{r}$; maka kecepatan sudut bola D dapat dihitung dari persamaan

$${\omega _D} = \frac{{{v_D}}}{{{r_D}}} = \frac{{{v_A}\ {r_B}}}{{{r_A}\ {r_D}}} = \frac{{12\ \cdot \left( {2 \times {{10}^{ – 2}}} \right)}}{{\left( {4 \times {{10}^{ – 2}}} \right) \cdot \left( {1 \times {{10}^{ – 2}}} \right)}} = 600\ {\rm{rad/s}}$$

Soal 7 :

Perhatikan tabel gerak lurus berikut ini

Percepatan terbesar akan dialami oleh…

A. Benda I untuk t₁ – t₂
B. Benda II untuk t₁ – t₂
C. Benda III untuk t₁ – t₂
D. Benda I untuk t₃ – t₄
E. Benda II untuk t₃ – t₄

Penjelasan :

Menurut definisi, percepatan adalah perubahan kecepatan dalam selang waktu tertentu. Dalam tabel di atas diberikan kecepatan ketiga benda tiap selang waktu 2 sekon (selang waktu perubahan kecepatan semua benda sama). Dengan demikian, percepatan terbesar akan dialami oleh benda yang mengalami perubahan kecepatan paling besar. Untuk benda I dan II perubahan kecepatannya tiap selang waktu 2 sekon selalu sama, yaitu 2 m/s tiap 2 sekon atau 1 m/s². Perubahan kecepatan terbesar dialami oleh benda III yaitu 5 m/s tiap 2 sekon atau 2,5 m/s². Jadi, jawaban yang benar adalah benda III untuk t₁ – t₂.

Soal 8:

Sebuah benda dengan massa 10 kg dilepaskan dari puncak bidang miring    yang ketinggiannya 4 m dengan kecepatan awal 10 m.s^-1. Besar gaya F yang menahan gerak benda supaya berhenti tepat di bawah bidang miring adalah …

Penjelasan :

Menurut teorema usaha-energi kinetik: usaha total yang bekerja pada sebuah benda sama dengan perubahan energi kinetik benda tersebut.

Usaha total dalam hal ini berarti total usaha yang dilakukan oleh masing-masing gaya yang bekerja pada benda. Mari kita gambarkan gaya-gaya yang bekerja pada benda kemudian menghitung usaha tiap gaya tersebut.

Berdasarkan gambar di samping, terdapat empat gaya yang bekerja pada benda. Gaya normal N, gaya gesek fg, gaya berat W = mg, dan gaya yang dibutuhkan agar benda berhenti di dasar bidang miring F. Gaya berat telah diuraikan menjadi komponen-komponennya mg sin $\alpha $ sepanjang bidang miring dan mg cos $\alpha $; tegak lurus bidang miring. Panjang sisi miring lintasan dapat dihitung dari definisi sinus $\alpha $ yaitu $\sin \alpha = 4/s$ atau $s = \frac{4}{{\sin \alpha }} = \frac{4}{{\sin {{53}^o}}} = \frac{4}{{0,8}} = 5\ {\rm{meter}}$

Selanjutnya, kita tentukan usaha oleh masing-masing gaya.

Usaha oleh gaya normal: W_N = 0 karena arah gaya normal tegak lurus perpindahan benda.

Usaha oleh gaya gesek: ${W_{gesek}} = {f_g} \cdot s = {\mu _k}N \cdot s$

Dari gambar diketahui bahwa N = mg cos $\alpha $, sehingga

$${W_{gesek}} = – {\mu _k}mg\cos \alpha \cdot s = – \left( {0,2} \right)\left( {10} \right)\left( {10} \right)\cos {53^o}\left( 5 \right) = – 60\ J$$

(tanda minus diberikan karena arah gaya gesek berlawanan arah dengan arah perpindahan)

Usaha oleh gaya berat hanya berasal dari komponen gaya berat yang sejajar perpindahan benda

$${W_g} = mg\sin \alpha \cdot s = \left( {10} \right)\left( {10} \right)\sin {53^o}\left( 5 \right) = 400\ J$$

Usaha oleh gaya F: $${W_F} = – F \cdot s = – 5F\ {\rm{J}}$$

Usaha total: $$W = {W_N} + {W_{gesek}} + {W_g} + {W_F} = 0 – 60 + 400 – 5F = 340 – 5F$$

Menurut teorema usaha-energi kinetik, usaha total ini sama dengan perubahan energi kinetik:

$$340 – 5F = {\textstyle{1 \over 2}}mv_{akhir}^2 – {\textstyle{1 \over 2}}mv_{awal}^2 = 0 – {\textstyle{1 \over 2}}\left( {10} \right){\left( {10} \right)^2} = – 500$$

$$340 + 500 = 5F\ \ \Rightarrow \ \ F = \frac{{840}}{5} = 168\ {\rm{newton}}$$

Soal 9 :

Perhatikan gambar berikut!

Massa balok A = 10 kg, dan massa B = 5 kg. Koefisien gesekan antara balok A dengan meja 0,2. Jika balok C bermassa 10 kg ditumpuk di atas balok A, maka yang terjadi adalah…

A. Gaya tegangan tali lebih besar dari semula
B. Gaya gesekan sama dengan semula
C. Percepatan sistem benda tetap
D. Percepatan sistem benda lebih kecil
E. Percepatan sistem benda sama besar

Pembahasan:

Untuk menjawab pertanyaan di atas, mari kita gambarkan diagram gaya benda A dan B sebelum dan sesudah balok C ditambahkan di atas balok B kemudian menerapkan hukum II Newton untuk melihat persamaan geraknya. Misalkan sistem bergerak ke arah kanan. Diagram gaya sebelum balok C ditumpukkan di atas balok A.

Tinjau balok A:

Sumbu x : $$\sum {{F_x} = {m_A}a\ \ \Rightarrow \ \ T – {f_g} = {m_A}a} \ \ \Rightarrow \ \ T – {\mu _k}N = {m_A}a\ \ … \ (1.a)$$

Sumbu y : $$\sum {{F_y} = 0\ \ \Rightarrow \ \ N – {m_A}g} = 0\ \ \Rightarrow \ \ N = {m_A}g)\ …. \ (1.b)$$

Substitusi (1.b) ke dalam (1.a) sehingga diperoleh persamaan $$T – {\mu _k}{m_A}g = {m_A}a$$
atau
$$T = \left( {a + {\mu _k}g} \right){m_A}\ \ …. \ (1.c)$$

Tinjau balok B:

$$\sum {{F_y} = {m_B}a\ \ \Rightarrow \ \ – T + {m_B}g = {m_B}a}\ \ …. \ (1.d)$$

Dari persamaan (1.c) dan (1.d) kita dapat mengeliminasi T untuk memperoleh percepatan a, diperoleh $$\left( {{m_B} – {\mu _k}{m_A}} \right)g = \left( {{m_A} + {m_B}} \right)a\ \ \Rightarrow \ \ a = \frac{{\left( {{m_B} – {\mu _k}{m_A}} \right)}}{{\left( {{m_A} + {m_B}} \right)}}g\ ...\  (1.e)$$

Masukkan nilai-nilai yang diketahui ke dalam persamaan (1.e) untuk menghitung a dan ke dalam persamaan (1.c) untuk menghitung T:
$$a = \frac{{\left( {5 – 0,2 \cdot 10} \right)}}{{\left( {5 + 10} \right)}}\left( {10} \right) = 2\ {\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}$$

$$T = \left( {2 + 0,2 \cdot 10} \right)\left( {10} \right) = 40\ {\rm{newton}}$$

Diagram gaya setelah balok C ditumpukkan di atas balok A

Tinjau tumpukan balok A + balok C:

Sumbu x :

$$\sum {{F_x} = \left( {{m_A} + {m_C}} \right)a\ \ \Rightarrow \ \ T – {f_g} = \left( {{m_A} + {m_C}} \right)a} $$
$$T – {\mu _k}N = \left( {{m_A} + {m_C}} \right)a\ \ ….\ (2.a)$$

Sumbu y :

$$\sum {{F_y} = 0\ \ \Rightarrow \ \ N – {m_A}g – {m_C}g} = 0$$

$$N = \left( {{m_A} + {m_C}} \right)g\ \ …. \ (2.b)$$

Substitusi (2.b) ke dalam (2.a) sehingga diperoleh persamaan
$$T – {\mu _k}\left( {{m_A} + {m_C}} \right)g = \left( {{m_A} + {m_C}} \right)a\ \ \Rightarrow \ \ T = \left( {a + {\mu _k}g} \right)\left( {{m_A} + {m_C}} \right)\ .… \ (2.c)$$

Tinjau balok B:
$$\sum {{F_y} = {m_B}a\ \ \Rightarrow \ \  – T + {m_B}g = {m_B}a}\ \ …. \ (2.d)$$
Eliminasi T dengan menggunakan persamaan (2.c) dan (2.d) untuk memperoleh a
$${m_B}g – {\mu _k}\left( {{m_A} + {m_C}} \right)g = \left( {{m_A} + {m_B} + {m_C}} \right)a$$

$$a = \frac{{\left( {{m_B} – {\mu _k}\left[ {{m_A} + {m_C}} \right]} \right)}}{{\left( {{m_A} + {m_B} + {m_C}} \right)}}g\ \ … \ (2.e)$$

Sekarang kita hitung a dari persamaan (2.e) dan T dari persamaan (2.c) dengan memasukkan nilai yang berikan dalam soal.
$$a = \frac{{\left( {{m_B} – {\mu _k}\left[ {{m_A} + {m_C}} \right]} \right)}}{{\left( {{m_A} + {m_B} + {m_C}} \right)}}g$$
Dan
$$T = \left( {0,4 + 0,2 \cdot 10} \right)\left( {10 + 10} \right) = 48\ {\rm{newton}}$$

Dari hasil di atas tampak bahwa gaya tegangan tali akan bertambah besar dan percepatan sistem benda akan berkurang setelah balok C ditumpukkan di atas balok A. Ada dua opsi jawaban benar yang diberikan.

Soal 10:

Tiga buah benda P, Q, dan R bermassa terletak pada bidang x-y yang saling dihubungkan dengan batang tipis bermassa sangat ringan. Massa dan koordinat P, Q, dan R diberikan dalam tabel berikut.

Sistem diputar pada poros yang melalui titik pangkal 0 tegak lurus dengan bidang x – y, maka besar momen inersia sistem adalah…

Pembahasan :

Agar mudah, mari kita gambarkan letak benda-benda tersebut.

Persamaan umum momen inersia adalah $I = m{R^2}$

Poros rotasi adalah titik pangkal (0,0) tegak lurus bidang x – y.

Momen inersia benda P : $${I_P} = {m_P}R_P^2 = \left( 1 \right){\left( 3 \right)^2} = 9\ kg \cdot {m^2}$$

Momen inersia benda Q : $${I_Q} = {m_Q}R_Q^2 = \left( 2 \right){\left( 4 \right)^2} = 32\ kg \cdot {m^2}$$

Momen inersia benda R : $${I_R} = {m_R}R_R^2 = \left( 3 \right){\left( 3 \right)^2} = 27\ kg \cdot {m^2}$$

Momen inersia sistem : $$I = {I_P} + {I_Q} + {I_R} = 9 + 32 + 27 = 68\ kg \cdot {m^2}$$