Kehidupan kita tidak dapat dilepaskan dengan bunyi sebab dengan bunyi atau suara kita dapat berkomunikasi secara verbal. Tanpa bunyi alangkah sunyinya dunia ini. Bunyi merupakan salah satu contoh dari gelombang longitudinal, yaitu jenis gelombang yang arah getarannya searah dengan arah rambat gelombangnya.
Berapakah kecepatan rambat gelombang bunyi di udara?
Cepat rambat bunyi di udara bergantung pada temperatur. Untuk keadaan tekanan dan temperatur standar (STP), keadaan STP adalah keadaan dimana tekanan p = 1 atm = 1,01 x 105 pa dan temperatur T = 0o C = 273 K, cepat rambat bunyi di udara adalah sebesar 331 m/s. Pada kondisi udara kering, dengan tekanan udara sebesar 1 atm atau 1,01 x 105 pa, cepat rambat bunyi di udara adalah sebesar 343 m/s.
Sebelum eksperimen memberikan kita nilai cepat rambat udara seperti dikutip di atas, Newton, salah seorang peletak dasar Mekanika, telah menghitung secara teoritis kecepatan rambat bunyi tersebut di udara. Perhitungan Newton dilakukan dengan menganalogikan perilaku partikel-partikel udara saat bunyi merambat melaluinya dengan perilaku pegas.
Bagaimana analisis cepat rambat suara di udara ala Newton?
Misalkan kita memiliki sebuah pegas dengan panjang awal Lo. Salah satu ujung pegas tersebut diikatkan pada dinding tetap, sedangkan pegas lainnya dibiarkan bebas. Andaikan pegas tersebut didorong ke arah kanan sehingga panjangnya berubah menjadi L dan dipertahankan tetap dalam keadaan ini, sehingga situasinya seperti pada gambar berikut.
Karena panjang pegas berubah dari Lo menjadi L dimana Lo > L, maka pegas tertekan dengan perubahan panjang Lo – L. Gaya yang dirasakan oleh tangan akibat tekanan ini adalah $$F = k\left( {{L_o} – L} \right)$$
Jika L diubah dengan cara menekannya lebih jauh maka besar gaya F juga akan berubah. Perubahan gaya F akibat perubahan L, dapat ditulis dalam bentuk persamaan yaitu $$dF = – k\,dL\,\,\,…\,(1)$$ Menurut Newton, perilaku pegas di atas identik dengan perilaku udara dalam sebuah kolom udara yang salah satu ujungnya tertutup dan ujung lainnya tertutup oleh sebuah piston yang dapat digeser-geser.
Misalkan kita punya kolom udara seperti yang disebutkan di atas, seperti ditunjukkan dalam gambar berikut.
Jika piston digerakkan ke kanan sejauh x, dan misalkan luas penampang tabung adalah A maka udara dalam tabung akan menekan piston, misalkan dengan tekanan sebesar p. Gaya yang dialami oleh piston oleh tekanan sebesar p ini adalah $$F = pA$$ Jika piston digerakkan lebih jauh ke kanan, maka tekanan juga akan bertambah besar sehingga gaya yang dirasakan piston juga akan bertambah. Pertambahan besar gaya yang dirasakan oleh piston karena pertambahan tekanan dapat dituliskan dalam bentuk persamaan sebagai berikut. $$dF = A\,\,dp\,\,\,…\,(2)$$ Pada proses di atas, tekanan bertambah saat pergeseran piston, yaitu x, bertambah. Hal ini berkaitan dengan perubahan volume udara dalam tabung. Volume udara dalam tabung dapat dituliskan dalam bentuk persamaan berikut $$V = Ax$$ Jika x berubah, maka volume V juga akan berubah yang dapat dituliskan dalam bentuk persamaan $$dV = – A\,\,dx$$ Tanda negatif pada persamaan di atas ditambahkan, mengingat perubahan volume dV yang terjadi adalah pengurangan volume.
Sekarang, jika kita kalikan persamaan (2) dengan faktor pengali $\left( { – A\,\,dx} \right)/\left( {dV} \right)$ sehingga diperoleh $$dF = – A\,\,dp\left( {\frac{{A\,\,dx}}{{dV}}} \right)$$ Persamaan di atas secara esensial tidak mengubah persamaan sebelumnya, yaitu persamaan (2), karena faktor pengali yang digunakan adalah faktor yang bernilai 1. (Lihat persamaan (3)). Dengan demikian, kita akan peroleh: $$dF = – {A^2}\frac{{dp}}{{dV}}dx\,\,…\,\,(4)$$ Bandingkan persamaan (4) yang berlaku untuk udara dalam kolom dengan persamaan (1) yang berlaku untuk pegas. Tampak bahwa nilai “k” untuk udara adalah $$k = – {A^2}\frac{{dp}}{{dV}}\,\,\,…\,\,(5)$$ Untuk sebuah pegas, gerakan maju mundur pada ujungnya (osilasi longitudinal) dapat merambat sepanjang pegas tersebut secara longitudinal dengan cepat rambat yang dinyatakan dengan persamaan $$v = \sqrt {\frac{{kL}}{{{\rho _{linear}}}}} \,\,\,\,…\,\,(6)$$ Dengan demikian, karena perilaku pegas dapat diidentikkan dengan perilaku udara dalam sebuah kolom udara, maka gerak osilasi pada salah satu ujung kolom udara, yang dapat ditimbulkan oleh suara, akan dirambatkan dengan cepat rambat yang menyerupai persamaan (6). Jadi, untuk udara $$v = \sqrt {\frac{{ – {A^2}\frac{{dp}}{{dV}}L}}{{{\rho _{linear}}}}} \,\,\,\,…\,\,(7)$$ Pada persamaan di atas, kita memerlukan nilai dp/dV yang dapat diperoleh jika kita mengetahui hubungan antara tekanan p dengan volume V. Oleh Newton, hubungan ini diperoleh dari hukum Boyle, yang mengatakan bahwa pada temperatur konstan, hasil kali antara tekanan dengan volume adalah konstan. Atau dalam bentuk persamaan, $$pV = {p_o}{V_o}\,\, \Rightarrow \,\,p = \frac{{{p_o}{V_o}}}{V}$$ Berdasarkan hubungan p dengan V di atas, maka dp/dV adalah $$\frac{{dp}}{{dV}} = – \frac{{{p_o}{V_o}}}{{{V^2}}}$$ Jika kita substitusi V = Vo pada persamaan di atas maka diperoleh $$\frac{{dp}}{{dV}} = – \frac{{{p_o}}}{{{V_o}}}$$ Untuk udara, data kerapatan molekul yang berikan biasanya dalam bentuk massa per satuan volume, sedangkan pada persamaan (7), kerapatan dinyatakan dalam bentuk massa persatuan panjang. Dengan demikian, untuk kerapatan dalam bentuk massa per satuan volume yang diberikan, kita harus mengubahnya menjadi kerapatan dalam bentuk massa per satuan panjang dengan cara mengalikan kerapatan volume tersebut dengan luas penampang A. Jadi untuk udara, $${\rho _{linear}} = {\rho _{vol}}\,A$$ Dengan memasukkan nilai-nilai yang dibutuhkan ini ke dalam persamaan (7) kita peroleh $$v = \sqrt {\frac{{ – {A^2}\left( { – \frac{{{p_o}}}{{{V_o}}}} \right)L}}{{{\rho _{vol}}\ A}}} = \sqrt {\frac{{{p_o}}}{{{\rho _{vol}}}}}\, \, \, … \,\, (8)$$
Pada persamaan (1.8) di atas, kita gunakan AL = Vo.
Jika kita masukkan nilai po yaitu tekanan udara normal sebesar 1,01 x 105 pa dan massa per satuan volume udara pada temperatur 20oC adalah 1,20 kg/m3 maka diperoleh $$v = \sqrt {\frac{{1,01 \times {{10}^5}}}{{1,20}}} = 290,11\,\,{\rm{m/s}}$$ Ternyata hasil perhitungan Newton tidak sesuai dengan hasil eksperimen, yaitu sebesar 343 m/s.
Mengapa bisa berbeda?
Ketika gelombang suara merambat di udara, molekul-molekul udara tertekan sehingga volumenya termampatkan. Tekanan pada saat itu bertambah sehingga temperatur juga harus naik. Saat molekul-molekul udara tersebut kembali ke keadaan setimbangnya, temperatur butuh waktu untuk mengalami kesetimbangan dengan lingkungan, tetapi beberapa saat kemudian molekul-molekul udara memampat lagi menyebabkan temperatur bertambah lagi. Hal ini menunjukkan bahwa kalor “seolah-olah” tidak dapat keluar dari udara untuk mengalami kesetimbangan dengan lingkungannya. Dengan kata lain, proses perambatan gelombang suara melalui udara, prosesnya dapat dianggap terjadi secara adiabatik. Oleh karena itu, kita tidak seharusnya menggunakan hukum Boyle yang hanya berlaku pada suhu yang konstan. Sebagai gantinya, maka kita dapat menggunakan persamaan keadaan gas ideal untuk kondisi adiabatik, yaitu $$p{V^\gamma } = {p_o}{V_o}^\gamma $$ Untuk menentukan dp/dV dari persamaan adiabatik di atas, kita diferensialkan persamaan tersebut terhadap p dan V sehingga diperoleh $${V^\gamma }dp + \gamma p{V^{\gamma – 1}}dV = 0$$ Atau $$\frac{{dp}}{{dV}} = – \gamma \frac{p}{V}\,\,\,…\,\,(9)$$ Dengan memasukkan nilai dp/dV ini, diperoleh $$v = \sqrt {\frac{{ – {A^2}\left( { – \gamma \frac{{{p_o}}}{{{V_o}}}} \right)L}}{{{\rho _{vol}}A}}} = \sqrt {\gamma \frac{{{p_o}}}{{{\rho _{vol}}}}}\, \, \,\,…\,\, (10)$$
Untuk udara, $\gamma = 1,4 $ sehingga $$v = \sqrt {1,4\left( {\frac{{1,01 \times {{10}^5}}}{{1,20}}} \right)} = 343,3\ {\rm{m/s}}$$
Hasil yang sangat sesuai dengan eksperimen!
Nah, demikianlah bagaimana kecerdikan Newton bernalar dalam menentukan kecepatan rambat bunyi di udara itu. Meskipun Newton sedikit “terpeleset” karena menganggap temperatur konstan selama proses perambatan bunyi itu, tetapi metodenya sungguh tepat.
