Lompat baca ke bagian berikut :
Definisi Deret Geometri
Deret geometri adalah barisan suku-suku bilangan yang dituliskan dalam bentuk penjumlahan mulai dari suku pertama sampai suku-suku selanjutnya. Jumlah suku yang dijumlahkan tak berhingga banyaknya sehingga disebut sebagai deret geometri tak hingga.
Namun demikian, tidak semua suku-suku bilangan yang dituliskan dalam bentuk penjumlahan disebut dengan deret geometri. Sebuah bentuk deret geometri tak berhingga dicirikan dengan suku-suku di depannya diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan sebuah bilangan tetap.
Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh-contoh deret berikut ini.
$$2 + 4 + 8 + 16 + 32 + …\,\,\,\,(1)$$
$$1 + \frac{2}{3} + \frac{4}{9} + \frac{8}{{27}} + …\,\,\,\,(2)$$
$$a + ar + a{r^2} + a{r^3} + …\,\,\,\,(3)$$
Pada deret (3), a merupakan sebuah bilangan yang tidak sama dengan nol.
Tiga tanda titik di bagian akhir deret di atas mengandung arti bahwa jumlah suku-suku yang dijumlahkan tak berhingga banyaknya.
Perhatikan deret yang pertama. Suku berikutnya diperoleh sebagai hasil perkalian antara suku sebelumnya dengan angka 2. Demikian halnya pada deret yang kedua angka pengali untuk mendapatkan suku berikutnya adalah 2/3 sedangkan pada deret yang terakhir, pengalinya merupakan r. Sesuai dengan ciri deret geometri yang telah dikemukakan sebelumnya, yaitu deret tersebut adalah deret yang suku-sukunya diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan bilangan tetap, maka ketiga deret di atas adalah deret geometri. Bilangan pengali yang bernilai tetap ini disebut dengan rasio (r).
Perhatikan contoh deret yang lain berikut ini.
$$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + …\,\,\,\,(4)$$
Apakah suku berikutnya diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan sebuah bilangan tetap? Coba kita cek. Suku pertama adalah 1. Suku di depan suku 1 adalah ½ yang dapat diduga merupakan perkalian antara 1 dengan ½. Baik. Bagaimana dengan suku ketiga? Apakah diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya (suku ke dua) dengan ½ juga? Jawabannya ternyata tidak! Berarti deret di atas bukan deret geometri.
Nah, sampai di sini Anda seharusnya sudah paham tentang deret geometri.
Rumus Deret Geometri
Dari penjelasan di atas, kita dapat menuliskan rumus umum deret geometri sebagai berikut.
$$a + ar + a{r^2} + a{r^3} + …\,\,\,\,(5)$$
Persamaan di atas dapat dituliskan dengan menggunakan tanda sigma ($\Sigma $), sebagai berikut:
$$a + ar + a{r^2} + a{r^3} + … = \sum\limits_{n = 1}^\infty {a{r^{n – 1}}} \,\,\,\,\,\,\,(6)$$
dengan a tidak boleh bernilai nol.
Apa yang disebut deret yang konvergen?
Sebuah deret tak berhingga disebut konvergen jika jumlah parsial suku-sukunya menuju ke suatu nilai tertentu yang kita misalkan dinyatakan dengan S.
Lalu apa pula yang disebut jumlah parsial deret?
Untuk memahami apa yang dimaksud jumlah parsial, mari kita perhatikan deret (1) yang dituliskan kembali sebagai berikut.
$$2 + 4 + 8 + 16 + 32 + … $$
Jika kita hanya mengambil satu suku dari deret tersebut, maka jumlah deret tersebut adalah 2. Jika kita mengambil dua suku saja maka jumlah deret tersebut adalah 2 + 4 = 6, jika kita mengambil tiga suku pertama maka jumlah deret tersebut adalah 2 + 4 + 8 = 14, dan seterusnya. Jumlah sebagian dari suku-suku deret inilah yang disebut jumlah parsial, yang sering disebut secara lebih lengkap sebagai jumlah parsial suku ke n.
Jumlah parsial suku ke-n berarti jumlah antara n suku awal deret atau disimbol Sn.
Jadi pada contoh di atas, jika kita hanya mengambil satu suku, maka jumlah parsial suku pertama deret di atas adalah 2 atau ditulis: S1 = 2. Jumlah parsial suku ke-3 deret adalah 2 + 4 + 8 = 14 yang dapat ditulis dengan S3 = 2 + 4 + 8 = 14.
Sekarang, pertanyaannya adalah apakah deret geometri konvergen?
Mari kita jawab pertanyaan di atas dengan meninjau deret geometri secara umum yang dituliskan dalam persamaan (6) yang ditulis ulang sebagai berikut.
$$a + ar + a{r^2} + a{r^3} + … = \sum\limits_{n = 1}^\infty {a{r^{n – 1}}}$$
Untuk menentukan apakah deret di atas konvergen, misalkan kita tuliskan jumlah parsial suku-sukunya sebagai:
$${S_n} = a + ar + a{r^2} + a{r^3} + … + a{r^{n – 1}}$$
Jika r = 1, maka persamaan di atas akan menghasilkan
$${S_n} = a + a(1) + a{(1)^2} + a{(1)^3} + … + a{(1)^{n – 1}} = a + a + a + a + … + a = na$$
Hasil di atas menunjukkan bahwa jika r = 1 maka hasil jumlah parsial n suku pertama deret akan terus bertambah menjadi tak berhingga. Dengan demikian, sesuai dengan definisi kita tentang deret yang konvergen, maka deret geometri tidak konvergen atau divergen jika r atau rasionya sama dengan 1.
Tetapi bagaimana jika kita ambil $r \ne 1$ ?
Jika $r \ne 1$, kita dapat menuliskan
$${S_n} = a + ar + a{r^2} + … + a{r^{n – 1}}$$
Dan
$$r{S_n} = ar + a{r^2} + a{r^3}… + a{r^n}$$
Jika Sn kita kurangkan dengan rSn, maka akan kita peroleh
$${S_n} – r{S_n} = \left( {a + ar + … + a{r^{n – 1}}} \right) – \left( {ar + a{r^2} + … + a{r^n}} \right) = a – a{r^n}$$
Dengan menyelesaikan persamaan di atas untuk mencari Sn yaitu jumlah parsial suku ke-n deret maka diperoleh
$${S_n} – r{S_n} = a – a{r^n}\,\, \Rightarrow \,\,\left( {1 – r} \right){S_n} = a\left( {1 – {r^n}} \right)$$
Atau
$${S_n} = \frac{{a\left( {1 – {r^n}} \right)}}{{(1 – r)}}\, \,\,\,\,(7)$$
Persamaan di atas merupakan persamaan yang menyatakan jumlah parsial suku ke-n dari deret geometri, dengan a merupakan suku pertama, dan r adalah rasio deret geometri yaitu perbandingan antara sebuah suku deret geometri dengan suku sebelumnya atau an+1 / an.
Jika r < 1 maka untuk n yang semakin besar, rn akan menjadi nol sehingga persamaan (7) akan menjadi
$${S_\infty } = \frac{a}{{1 – r}}\,\,\,\, (8)$$
Persamaan (8) di atas merupakan persamaan yang menyatakan jumlah dari deret geometri tak berhingga (bukan jumlah parsialnya). Dari persamaan (8) ini tampak bahwa jika deret geometri dijumlahkan suku-sukunya yang tak berhingga banyaknya, maka hasil jumlahnya akan cenderung menuju ke suatu nilai tertentu yang dapat diperoleh dengan menggunakan persamaan (8) tersebut. Dengan demikian, deret geometri bersifat konvergen asalkan r < 1.
Dari pembahasan di atas dapat disimpulkan bahwa:
- Deret geometri akan bersifat konvergen jika rasio r-nya lebih kecil dari 1 dan akan divergen jika r-nya lebih besar atau sama dengan 1.
- Jumlah parsial n suku deret geometri dapat dihitung dengan menggunakan persamaan (7).
- Jumlah tak berhingga suku-suku deret geometri akan menuju ke suatu nilai tertentu yang dapat dihitung dengan menggunakan persamaan (8).
Demikianlah materi kita tentang deret geometri yang menyangkut tentang apa itu deret geometri, bagaimana rumus deret geometri tersebut dan apakah deret tersebut bersifat konvergen. Selanjutnya kita akan menyelesaikan beberapa contoh soal.
Contoh-contoh Soal tentang Deret
Contoh 1
Perhatikan deret berikut ini:
$$\frac{4}{3} + \frac{4}{9} + \frac{4}{{27}} + \frac{4}{{81}} + …$$
(a) Apakah deret tersebut deret geometri?
(b) Berapakah jumlah 4 suku pertama dari deret tersebut?
(c) Berapa jumlah deret tersebut jika tak berhingga banyaknya suku-sukunya kita jumlahkan?
Jawab:
(a) Untuk mengetahui apakah deret tersebut adalah deret geometri, kita cari apakah rasio suku-sukunya adalah bilangan yang tetap. Kita bandingkan suku-2 dengan suku-1:
$$\frac{{4/9}}{{4/3}} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$$
Perbandingan suku-3 dengan suku-2:
$$\frac{{4/27}}{{4/9}} = \frac{9}{{27}} = \frac{1}{3}$$
Dari dua hasil ini kita dapat menyimpulkan bahwa rasio deret ini adalah tetap yaitu r = 1/3 dengan demikian, deret di atas adalah deret geometri.
(b) Jumlah parsial empat suku pertama dari deret dapat diperoleh dengan menjumlahkan secara langsung:
$${S_4} = \frac{4}{3} + \frac{4}{9} + \frac{4}{{27}} + \frac{4}{{81}}$$
Namun demikian, akan lebih memudahkan jika kita gunakan persamaan yang telah kita peroleh sebelumnya, yaitu persamaan (7) dengan a = 4/3 dan r =1/3. Kita peroleh
$${S_n} = \frac{{a\left( {1 – {r^n}} \right)}}{{(1 – r)}}\,\, \Rightarrow \,\,{S_4} = \frac{{4/3\left( {1 – {{\left[ {1/3} \right]}^4}} \right)}}{{1 – 1/3}} = \frac{{4/3\left( {1 – 1/81} \right)}}{{2/3}} = \frac{{4/3\left( {80/81} \right)}}{{2/3}} = \frac{{160}}{{81}}$$
(c) Kita tidak mungkin menjumlahkan secara langsung sebanyak tak berhingga suku-suku deret ini oleh karena itu satu-satunya cara untuk dapat menghitung jumlahnya adalah dengan menggunakan persamaan (8)
$${S_\infty } = \frac{{4/3}}{{1 – 1/3}} = \frac{{4/3}}{{2/3}} = 2$$
Contoh 2:
Ubahlah menjadi bentuk pecahan bilangan desimal tak berhingga berikut: 0,515151…
Jawab:
Dengan menggunakan rumus jumlah tak berhingga suku-suku deret geometri, kita dapat mengubah sebuah bilangan desimal tak berhingga menjadi bentuk pecahan seperti pada contoh ini.
0,515151 dapat ditulis menjadi deret geometri tak berhingga sebagai berikut:
$$0,515151… = \frac{{51}}{{100}} + \frac{{51}}{{10000}} + \frac{{51}}{{1000000}} + …$$
Deret geometri di atas memiliki nilai r = 51/10000/51/100 = 1/100 dan a = 51/100. Dengan menggunakan persamaan (8), kita dapat memperoleh
$${S_n} = \frac{{51/100}}{{1 – 1/100}} = \frac{{51/100}}{{99/100}} = \frac{{51}}{{99}} = \frac{{17}}{{33}}$$
Contoh 3:
Periksalah apakah deret berikut konvergen atau divergen? Jika konvergen, berapakah jumlah deret tersebut?
(a) ${\sum\limits_{k = 1}^\infty {\left( {\frac{1}{7}} \right)} ^k}$
(b) $\sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{{k – 5}}{{k + 2}}} $
Jawab:
Ingat bahwa sebuah deret akan konvergen jika jumlah deret tersebut menuju pada suatu nilai tetap tertentu. Untuk itu, mari kita periksa deret yang diberikan apakah termasuk deret geometri untuk dapat menggunakan persamaan (8) dalam menentukan jumlah deret tersebut.
(a) ${\sum\limits_{k = 1}^\infty {\left( {\frac{1}{7}} \right)} ^k} = \frac{1}{7} + \frac{1}{{49}} + \frac{1}{{343}} + …$
Perhatikan bahwa deret di atas merupakan deret geometri dengan rasio r = 1/7. Dengan demikian kita dapat menggunakan rumus persamaan (8).
$${S_\infty } = \frac{a}{{1 – r}} = \frac{{1/7}}{{1 – 1/7}} = \frac{{1/7}}{{6/7}} = \frac{1}{6}$$
Karena deret di atas memiliki jumlah, maka deret tersebut konvergen. Jumlahnya adalah 1/6.
(b) $\sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{{k – 5}}{{k + 2}}} = – \frac{4}{3} – \frac{3}{4} – \frac{2}{5} – \frac{1}{6} + 0 + \frac{1}{8} + \frac{2}{9} + …$
Deret di atas jelas tidak memberikan nilai rasio r yang tetap. Oleh karena itu deret tersebut bukan merupakan deret geometri. Jadi, kita tidak dapat menggunakan persamaan-persamaan kita dalam tulisan ini yang hanya berlaku untuk deret geometri.
Namun demikian, untuk menjawab apakah deret ini konvergen atau tidak, kita dapat melihat kecenderungan nilai suku deret ini untuk limit k menuju tak berhingga. Jika untuk k menuju tak berhingga nilai suku tersebut cenderung mendekati nol, maka deret akan konvergen. Sebaliknya, jika nilai sukunya untuk suku k yang menuju tak berhingga tidak mendekati atau sama dengan nol, maka deret divergen.
$$\mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \frac{{k – 5}}{{k + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \frac{{1 – 5/k}}{{1 + 2/k}} = 1$$
Dari hasil di atas, tampak bahwa suku deret untuk k menuju tak berhingga tidak sama dengan nol sehingga deret tersebut bersifat divergen.
