Menentukan Determinan Matriks orde 2, Mudah!

Pengertian Matriks

Sebelum kita membahas tentang apa itu determinan matriks, kita harus memahami lebih dahulu apa itu matriks.

Matriks adalah kumpulan bilangan yang dituliskan dalam susunan bentuk baris atau kolom atau kedua-duanya dan berada dalam suatu tanda kurung besar.

Contoh sebuah matriks dapat dilihat sebagai berikut. Misalkan matriks tersebut adalah matriks A.

$$ A = \begin{pmatrix} 1 & 5 & -2 \\ -3 & 0 & 6 \end{pmatrix}$$

Bilangan-bilangan yang membentuk suatu matriks disebut dengan elemen-elemen matriks.

Untuk menunjuk suatu elemen dalam matriks, biasanya digunakan simbol matriks yang diberi indeks ij dengan i adalah posisi baris dan j adalah posisi kolom. Misalnya pada matriks A di atas, elemen matriks A pada sudut kiri atas dinyatakan dengan A₁₁ yaitu i = 1 (berada pada baris 1) dan kolom j = 1 (yaitu dalam kolom 1). Elemen matriks A₂₃ adalah 6 karena angka 6 berada pada posisi baris (i) = 2 dan kolom (j) = 3, dan seterusnya.

Jika Anda memahami uraian di atas, maka Anda bisa mengidentifikasi elemen-elemen matriks berikut: A₁₃ = -2, A₂₁ = -3, A₂₂ = 0, dan sebagainya.

Matriks yang terdiri atas 2 baris dan 3 kolom seperti contoh matriks A di atas biasa dinyatakan sebagai matriks 2 x 3 atau matriks ordo 2 x 3. Jika matriks terdiri atas 3 baris dan 3 kolom maka matriksnya disebut matriks 3 x 3 atau matriks ordo 3 x 3dan seterusnya.

Pada matriks, kita mengenal matriks transpose.

Apa itu matriks transpose?

Matriks transpose adalah matriks yang diperoleh dengan mengubah elemen-elemen baris matriks menjadi elemen-elemen kolom. Matriks transpose diberi simbol superskript T pada lambang matriksnya.

Sebagai contoh kita ambil matriks A sebelumnya. Kita akan ubah matriks A menjadi matriks transpose A atau disimbol A^T. Seperti yang telah disebutkan, transpose suatu matriks diperoleh dengan mengubah elemen baris matriks asal menjadi elemen kolom. Jadi, elemen-elemen baris matriks A yaitu 1, 5, dan -2 kita ubah menjadi elemen kolom demikian halnya elemen baris ke-2 yaitu -3, 0, dan 6 kita ubah menjadi elemen kolom ke-2, sebagai berikut.

$$ {A^T} = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 5 & 0 \\ -3 & 6 \end{pmatrix}$$

Berapa ordo matriks transpose di atas? Jawabannya tentu adalah 2 x 3.

Determinan Matriks

Kita telah tahu bahwa pada matriks terdapat baris dan kolom. Jumlah baris dan kolom pada suatu matriks dapat berbeda seperti pada contoh yang telah diberikan, yaitu matriks A yang jumlah barisnya 2 dan jumlah kolomnya 3. Sedangkan pada matriks transpose A, jumlah barisnya menjadi 3 dan jumlah kolomnya menjadi dua. Jika suatu matriks memiliki jumlah kolom sama dengan jumlah barisnya, maka matriks tersebut disebut matriks persegi.

Nah, determinan matriks hanya dapat dimiliki oleh sebuah matriks persegi.

Apa sebenarnya determinan matriks itu?

Determinan matriks adalah sebuah nilai (atau angka) yang dimiliki oleh matriks persegi yang diperoleh melalui cara berikut:

Misalkan kita memiliki sebuah matriks persegi M dengan ordo 2 (tentu saja untuk matriks persegi ordo 2 berarti matriks tersebut adalah matriks 2 x 2). Elemen-elemen matriks M adalah sebagai berikut.

$$ M = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$$

Determinan matriks M di atas, yang kita tulis dengan

$$ det\, M = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}$$

ditentukan dengan cara:

$$ det\, M = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc \,\,\,\,\, (1)$$

Persamaan (1) di atas merupakan persamaan untuk menentukan determinan matriks ordo 2.

Bagaimana jika matriks kita berordo lebih besar dari 2?

Prosesnya sedikit lebih rumit dan kita membutuhkan beberapa konsep dasar untuk keperluan tersebut. Oleh karena itu, penentuan determinan matriks ordo yang lebih besar dari 2 akan disajikan pada materi berikutnya.

Mari kita fokus dulu pada determinan matriks ordo 2 dalam tulisan kali ini dengan mengerjakan beberapa contoh soal.

Contoh-contoh Soal Menentukan Determinan Matriks Ordo 2

1. Hitunglah determinan matriks P berikut!

$$P= \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 4 & 8 \end{pmatrix}$$

Jawaban :

Sesuai dengan definisi cara menentukan determinan matriks seperti yang diberikan dalam persamaan (1), maka determinan matriks P dapat dihitung sebagai berikut:

$$det\, P= \begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 4 & 8 \end{vmatrix} = \left( {2 \times 8} \right) – \left( {4 \times 4} \right) = 16 – 16 = 0$$

Jadi, determinan matriks P adalah nol.

Sebuah matriks persegi yang nilai determinannya sama dengan nol disebut matriks singular.

2. Jika matriks $A= \begin{pmatrix} {\frac{1}{2}a} & 2 \\ b & {\frac{3}{2}c} \end{pmatrix}$ dan matriks $B= \begin{pmatrix} 2c - 3b & 2a +1 \\ a & b + 7 \end{pmatrix}$ maka berapakah nilai a, b, dan c agar A = B^T ?

Jawaban:

Nilai-nilai a, b, dan c pada elemen-elemen matriks A dan B dapat diperoleh dengan menyamakan matriks A dengan matriks transpose B seperti yang disyaratkan dalam soal yaitu A = B^T.

Dengan menyamakan kedua matriks tersebut, akan diperoleh sejumlah persamaan yang mengandung variabel a, b, dan c. Persamaan-persamaan tersebut kemudian diselesaikan untuk menentukan a, b, dan c sesuai yang diminta.

Mari kita kerjakan.

Pertama kita lakukan transpose terhadap matriks B, yaitu

$${B^T} =\begin{pmatrix} 2c-3b & a \\ 2a+ 1 & b+7 \end{pmatrix}$$

Selanjutnya, kita samakan matriks A dengan B^T, yaitu:

$$A = {B^T}\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\,\, \begin{pmatrix} {\frac{1}{2}a} & 2 \\ b & {\frac{3}{2}c} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2c-3b & a \\ 2a+ 1 & b+7 \end{pmatrix}$$

Catat bahwa dua buah matriks akan sama jika elemen-elemennya antara matriks yang satu sama dengan elemen-elemen matriks yang lainnya, sesuai dengan posisi elemen-elemen tersebut.  Jadi, agar matriks A = B^T di atas sama, maka harus berlaku:

Elemen baris satu kolom satu matriks A = elemen baris satu kolom satu matriks B^T yaitu :

$$\frac{1}{2}a = 2c – 3b\,\,\,\,\,\,\,\,…\,\,(2)$$

Elemen baris satu kolom dua matriks A = elemen baris satu kolom dua matriks B^T yaitu:

$$a = 2\,\,\,\,…\,\,\,(3)$$

Elemen baris dua kolom satu matriks A = elemen baris dua kolom satu matriks B^T yaitu:

$$b = 2a + 1\,\,\,\,\,…\,\,(4)$$

Dari persamaan (3) di atas, kita sudah tahu bahwa a = 2. Jika a = 2 disubstitusi ke dalam persamaan (3) kita akan peroleh nilai b, yaitu:

$$b = 2a + 1\,\,\, \Rightarrow \,\,\,b = 2(2) + 1 = 5$$

Jadi, b = 5.

Selanjutnya, kita substitusi a = 2 dan b = 5 ke dalam persamaan (2) untuk memperoleh c, yaitu:

$$\frac{1}{2}a = 2c – 3b\,\, \Rightarrow \,\,\,\frac{1}{2}\left( 2 \right) = 2c – 3\left( 5 \right)\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,1 = 2c – 15$$

Atau

$$2c = 1 + 15 = 16\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,c = \frac{{16}}{2} = 8$$

Jadi, c = 8.

Dengan demikian, nilai a, b, dan c pada matriks di atas masing-masing adalah a = 2, b = 5, dan c = 8.

3. Hitunglah determinan matriks A dan A^T pada soal No. 2 di atas!

Jawaban :

Matriks A adalah

$$A=\begin{pmatrix} {\frac{1}{2}a} & 2 \\ b & {\frac{3}{2}c} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {\frac{1}{2}\left( 2 \right)}&2 \\ 5&{\frac{3}{2}\left( 8 \right)}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 5 & 12 \end{pmatrix}$$

Determinan matriks A

$$det\,A=\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 5 & 12 \end{vmatrix} = \left( {1 \times 12} \right) – \left( {2 \times 5} \right) = 12 – 10 = 2$$

Determinan matriks A adalah 2.

Matriks A^T adalah

$${A^T} = \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 2 & 12 \end{pmatrix}$$

Determinan matriks A^T adalah

$$det\, {A^T} = \begin{vmatrix} 1 & 5 \\ 2 & 12 \end{vmatrix}=\left( {1 \times 12} \right) – \left( {5 \times 2} \right) = 12 – 10 = 2$$

Jadi, determinan matriks A^T juga sama dengan 2.

Nah, demikian materi kita tentang determinan matriks ordo 2. Untuk determinan matriks ordo yang lebih besar dari 2 dapat Anda pelajari di tulisan ini.