Kita telah mempelajari tentang determinan suatu matriks, terutama matriks dengan ordo 2 x 2. Bahkan kita telah dapat menentukan determinan matriks tersebut.
Pada tulisan kali ini kita akan meningkatkan pembahasan tentang determinan matriks kita ke matriks dengan ordo yang lebih tinggi, yaitu matriks orde 3. Untuk keperluan tersebut, kita perlu memahami sejumlah konsep atau istilah yang diperlukan untuk menentukan determinan matriks ordo lebih tinggi, terutama untuk matriks ordo 3 x 3.
Lompat baca ke bagian berikut :
Beberapa Konsep untuk Menentukan Determinan Matriks Ordo 3 x 3: Minor
Apa itu minor?
Misalkan kita memiliki sebuah matriks berordo n. Jika kita hilangkan satu baris dan satu kolom dari matriks berordo n ini, maka tentu saja akan tersisa suatu matriks yang berordo n-1. Anggaplah kita menghilangkan baris dan kolom di mana elemen matriks aij berlokasi dan determinan matriks yang tertinggal kita nyatakan dengan Mij. Maka determinan Mij inilah yang disebut dengan minor dari aÂij yaitu minor elemen yang dihilangkan posisi baris dan kolomnya.
Bingung?
Baiklah. Mari kita ambil contoh yang lebih spesifik agar uraian yang bersifat umum di atas dapat lebih mudah dipahami. Misalkan kita punya determinan matriks persegi yang kita sebut matriks A sebagai berikut (ingat tanda | .. | menyatakan determinan sebuah matriks).
$$ A = \begin{vmatrix} 1 & -5 & 2 \\ 7 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 5 \end{vmatrix}$$
Jika kita ambil elemen a23 yaitu 4, kemudian baris dan kolom tempat elemen a23= 4 ini kita hilangkan (yaitu baris dan kolom yang dicoret pada determinan matriks di bawah ini):
$$ \begin{vmatrix} 1 & -5 & \cancel{2} \\ \cancel{7} & \cancel{3} & \cancel{4} \\ 2 & 1 & \cancel{5} \end{vmatrix}$$
maka akan diperoleh determinan matriks yang tersisa :
$$ det\, M = \begin{vmatrix} 1 & -5 \\ 2 & 1 \end{vmatrix}\,\,\,...\,\,(2)$$
Nah, determinan matriks yang tersisa di atas itulah yang disebut minor dari a23.
Beberapa Konsep untuk Menentukan Determinan Matriks Ordo 3 x 3: Kofaktor
Apa itu kofaktor?
Kofaktor adalah minor yang diberi tanda positif atau negatif.
Kapan diberi tanda positif? Jika hasil jumlah i (posisi barisnya) dengan j (posisi kolomnya) merupakan bilangan genap.
Kapan diberi tanda negatif? Jika hasil jumlah i (posisi barisnya) dengan j (posisi kolomnya) merupakan bilangan ganjil.
Pada contoh di atas, kita sudah peroleh minor dari a23 seperti yang diberikan oleh persamaan (2). Untuk mendapatkan kofaktor dari a23, maka kita berikan minor a23 tanda negatif.
Mengapa tanda negatif?
Karena jumlah dari 2 (nilai i) dan 3 (nilai j) adalah 5 yang merupakan bilangan ganjil.
Sekarang mari kita hitung minor dari a23 yaitu nilai determinan matriks minor pada persamaan (2) di atas.
$$ det\, M = \begin{vmatrix} 1 & -5 \\ 2 & 1 \end{vmatrix}=[\left( {1 \times 1} \right) – \left( { – 5 \times 2} \right) = 1 + 10 = 11 $$
Karena determinan matriks M ini merupakan minor dari elemen a23 matriks A, maka kita bisa mengatakan bahwa nilai minor elemen a23 adalah 11.
Kofaktor dari elemen a23 adalah  – 11. Kita tinggal tambahkan tanda negatif di depan minornya.
Bagaimana? Mudah bukan?
Setelah kita mengetahui apa yang dimaksud dengan minor dan kofaktor, sekarang kita dapat menentukan determinan suatu matriks ordo di atas 2. Cara menentukannya kita rumuskan dalam ungkapan sebagai berikut:
Nilai determinan suatu matriks diperoleh dengan cara mengalikan masing-masing elemen dalam satu baris (atau dalam satu kolom) dengan kofaktornya dan menambahkan hasil-hasil yang diperoleh tersebut.
Untuk memperjelas apa yang dimaksud dalam ungkapan di atas, mari kita hitung determinan matriks A yang kita gunakan sebagai contoh dalam diskusi ini.
Kita gunakan elemen-elemen dalam baris pertama matriks untuk menentukan determinan matriks tersebut.
Perhatikan matriks A berikut:
$$ A = \begin{pmatrix} 1 & -5 & 2 \\ 7 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 5 \end{pmatrix}$$
Pertama, elemen-elemen baris pertama adalah 1, -5, dan 2.
Kita harus menentukan kofaktor tiap elemen ini. Karena kofaktor adalah minor yang diberi tanda positif atau negatif, maka tentu saja kita harus menghitung determinan dari minor tiap elemen tersebut.
Caranya sebagai berikut:
1. Tutupi baris dan kolom dimana elemen yang ditinjau berada. Untuk elemen baris pertama yaitu 1, maka kita tutupi baris 1 dan kolom 1, sehingga angka yang tampak akan menyisakan matriks dengan elemen-elemen yang terdiri atas: 3 dan 4 pada baris pertama serta 1 dan 5 pada baris kedua. Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar berikut.
2. Demikian pula untuk elemen baris pertama lainnya yaitu -5 dan 2, seperti pada gambar berikut.
3. Selanjutnya, kofaktor tiap-tiap elemen baris pertama yang telah dihitung di atas kita jumlahkan untuk mendapatkan nilai determinan matriks A, yaitu:
$$ det\, A = \begin{vmatrix} 1 & -5 & 2 \\ 7 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 5 \end{vmatrix}=11 + 135 + 2 = 148$$
Jadi, determinan matriks A adalah 148.
Menurut ungkapan di atas, determinan dapat dicari melalui elemen-elemen dalam satu baris atau dalam satu kolom. Pada contoh di atas, kita menentukan determinan matriks A dengan meninjau elemen-elemen dalam baris pertama. Bagaimana kalau kita menggunakan elemen-elemen dalam suatu kolom, misalnya kolom kedua? Apakah akan menghasilkan nilai determinan yang sama?
Mari kita buktikan dengan menghitung determinan matriks A berdasarkan kolom ke dua. Kali ini penyelesaian tidak akan kita uraikan lagi menjadi tiga langkah seperti contoh di atas, tetapi langsung kita lakukan secara serempak. Pemisahan menjadi tiga langkah seperti di atas hanya dimaksudkan untuk memperjelas langkah demi langkah cara penentuan determinan matriks.
Determinan matriks A berdasarkan elemen-elemen kolom kedua:
$$ det\, A = \begin{vmatrix} 1 & -5 & 2 \\ 7 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 5 \end{vmatrix}=(-)(-5) \begin{vmatrix} 7 & 4 \\ 2 & 5 \end{vmatrix} + (3)\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 5 \end{vmatrix} + (-)(1) \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 7 & 4 \end{vmatrix} $$
$$\begin{array}{l}\det A = (5)(35 – 8) + (3)\left( {5 – 4} \right) + ( – 1)\left( {4 – 14} \right)\\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 135 + 3 + 10 = 148\end{array}$$
Ternyata diperoleh hasil yang sama dengan sebelumnya yaitu 148.
Anda dapat berlatih menentukan determinan matriks dengan menghitung determinan matriks A dengan menggunakan elemen-elemen baris atau kolom lainnya dan membuktikannya bahwa determinan yang dihasilkan adalah 148.
Nah, Anda telah melihat bagaimana cara menentukan determinan matriks ordo 3. Bagaimana jika ordo matriksnya lebih besar dari 3?
Prinsipnya sama. Kita menentukan kofaktor elemen-elemen dalam satu baris atau dalam satu kolom lalu menjumlahkannya. Hanya saja, prosesnya cukup rumit dan membutuhkan usaha yang sangat besar karena kita harus menentukan kofaktor ini secara berulang-ulang. Sebagai contoh, bayangkan kita akan menghitung determinan matriks ordo 4.
Gunakan elemen-elemen baris pertama.
Jika kita tutupi baris dan kolom letak elemen yang ditinjau, maka matriks minor yang dihasilkan berordo 3 x 3. Matriks berordo 3 x 3 ini belum bisa kita tentukan determinannya secara langsung sehingga kita harus melakukan penentuan kofaktor lagi untuk matriks minor ini untuk mendapatkan matriks minor ordo dua yang dapat dihitung determinannya. Pekerjaan yang sungguh sangat berat! Oleh karena itu, metode yang digunakan dalam menentukan determinan matriks orde 3 ini, yang disebut juga dengan metode pengembangan Laplace, tidak akan kita gunakan untuk matriks orde yang lebih besar. Kita butuh metode lain yang akan diuraikan pada tulisan yang lain.
