Melakukan operasi penjumlahan vektor dengan menggunakan metode geometri seperti yang dibahas dalam posting ini akan sangat merepotkan dan kurang praktis. Apatah lagi jika kita akan melakukan operasi lain selain penjumlahan, misalnya operasi perkalian. Metode lain yang lebih praktis dan mudah untuk melakukan operasi vektor adalah metode analitis. Metode analisis menggunakan aljabar. Sebelum mempelajari lebih jauh metode analisis tersebut, terlebih dahulu mari kita pelajari bagaimana menyatakan vektor secara matematis.
Lompat baca ke bagian berikut :
Menyatakan Vektor dalam Bentuk Matematis
Mari kita ambil contoh vektor posisi dan perpindahan yang telah kita diskusikan dalam posting kita saat kita membahas tentang menjumlahkan vektor secara geometris.
Perhatikan gambar berikut.
Gambar (a) adalah panah yang menyatakan vektor posisi di titik A sedangkan gambar (b) adalah panah yang menyatakan vektor posisi di titik B. Bagaimana menyatakan vektor posisi A dan B secara matematis sehingga tidak perlu menggunakan gambar panah?
Caranya cukup mudah dengan menggunakan sistem koordinat Cartesian. Dengan sistem koordinat Cartesian tersebut, Anda bisa melihat bahwa posisi titik A dan titik B masing-masing berada koordinat (4, 3) untuk titik A dan (8, 4) untuk titik B, bukan? silakan dicermati gambar (a) dan (b) di atas.
Nah, dalam matematika vektor, kita bisa menuliskan vektor posisi untuk titik A dan titik B sebagai berikut.
untuk vektor posisi titik A.
untuk vektor posisi titik B
Perhatikan notasi di atas. Tanda panah kecil di atas huruf A dan B pada persamaan di atas menunjukkan bahwa A dan B adalah sebuah vektor, yaitu sesuatu yang memiliki nilai dan arah. Sedangkan simbol dan
(dibaca “i topi” dan “j topi”) merupakan simbol untuk vektor satuan.
Apa itu vektor satuan?
Vektor satuan adalah vektor yang nilainya satu. Karena nilainya satu, vektor satuan ini digunakan untuk menunjukkan sebuah arah tertentu sesuai dengan yang dinyatakan oleh vektor satuan tersebut. Contohnya adalah vektor satuan dan
di atas. Vektor
merupakan vektor bernilai satu yang menunjuk ke arah sumbu x, sedangkan vektor
merupakan vektor bernilai satu yang menunjuk ke arah sumbu y. Dengan demikian jika Anda melihat persamaan seperti
maka Anda harus segera membayangkan bahwa vektor A adalah sebuah vektor yang ujungnya terletak di titik (4, 3).
Selain vektor satuan dan
, yaitu vektor yang masing-masing menunjuk ke arah sumbu x dan sumbu y, masih ada satu vektor satuan dalam sistem koordinat Cartesian, yaitu vektor satuan yang menunjuk ke arah sumbu z. Untuk vektor satuan ke arah z ini digunakan simbol
.
Sekarang, perhatikan gambar berikut ini. Dapatkah Anda menuliskan vektor posisi di titik A, dan titik B secara matematis?
Jawabannya cukup mudah. Untuk titik A dinyatakan dengan dan titik B dinyatakan dengan
.
Penjumlahan vektor
Setelah kita memahami bagaimana menuliskan vektor secara matematis, selanjutnya mari kita melakukan penjumlahan dengan cara analitis.
Untuk menjumlahkan dua atau lebih vektor yang ditulis secara matematis, kita tinggal menjumlahkan saja vektor-vektor tersebut secara aljabar, dengan catatan: kita hanya boleh menjumlahkan suku-suku yang sejenis.
Apa maksudnya sejenis?
Mari kita ambil contoh penjumlahan vektor sebelumnya seperti dalam gambar 1. Kita akan menjumlahkan vektor A dengan vektor B. Kita tuliskan :
atau
Jadi hasil jumlah vektor A dan vektor B adalah . Jadi yang kita maksudkan dengan sejenis adalah suku-suku dengan vektor satuan yang sama. Dalam contoh di atas, kita menjumlahkan 4 dengan 8 karena keduanya memiliki vektor satuan yang sama yaitu
serta 3 dengan 7 karena keduanya juga memiliki vektor satuan yang sama yaitu
.
Melihat bentuk hasil jumlah vektor di atas, kita tahu bahwa hasil jumlah itu juga merupakan sebuah vektor, iya kan? Bisakah Anda menggambarkan vektor hasil jumlah tersebut?
Jika Anda melakukannya, Anda akan memperoleh seperti gambar berikut.
Karena vektor, kita boleh bertanya, berapa besar dan arah vektor tersebut? Berdasarkan gambar di atas, kita bisa menghitung besar atau nilai vektor tersebut sebagai berikut
Misalkan vektor di atas kita beri nama vektor A maka besar (nilai) vektor A adalah
Arahnya bisa kita tentukan sebagai berikut
Atau = 30,26o.
Apakah hasil penjumlahan dengan cara analitis di atas sama dengan hasil penjumlahan secara geometri?
Untuk mengetahui jawabannya secara pasti mari kita lakukan penjumlahan dengan cara geometri.
Prosedur penjumlahannya secara berurutan ditunjukkan dalam gambar berikut. Dimulai dengan menggambarkan vektor posisi A (gambar a), selanjutnya kita gambarkan vektor B dengan menempatkan pangkalnya di ujung vektor A (gambar b), dan terakhir kita gambarkan vektor hasil jumlahnya yaitu panah yang pangkalnya berimpit dengan pangkal vektor A dan ujungnya berimpit dengan ujung vektor B (gambar c).
Jika Anda bandingkan gambar di atas dengan gambar sebelumnya, Anda akan melihat bahwa kedua cara penjumlahan tersebut memberikan hasil yang sama.
Komponen-komponen Vektor
Sebuah vektor dapat kita uraikan menjadi komponen-komponennya. Untuk memahami hal ini, perhatikan vektor berikut.
Vektor di atas adalah vektor yang dinyatakan dengan persamaan .
Untuk menguraikan vektor di atas ke dalam komponen-komponennya, kita tinggal membuat proyeksi vektor tersebut ke sumbu-sumbu koordinatnya, dalam gambar di atas adalah ke sumbu x dan sumbu y. Perhatikan gambar berikut.
Panjang (besar) vektor proyeksi masing-masing dapat dihitung dengan menggunakan konsep trigonometri sebagai berikut.
Proyeksi vektor ke sumbu x :
Proyeksi vektor ke sumbu y :
Catatan: Simbol A menyatakan panjang (besar) vektor yang akan diuraikan menjadi komponen-komponennya (panjang garis panah kuning dalam gambar di atas). Simbol Ax menyatakan komponen vektor A pada sumbu x dan Ay menyatakan komponen vektor A pada sumbu y.
Nah, sekarang Anda telah mengetahui dua cara menjumlahkan vektor yaitu secara geometri dan secara analitis. Anda juga sudah mengetahui bagaimana menyatakan sebuah vektor dalam bentuk matematis, selain dalam bentuk gambar panah. Selain itu, Anda telah memahami tentang komponen-komponen sebuah vektor seperti yang baru saja kita uraikan. Pemahaman terhadap hal-hal ini sangat penting dalam fisika, mengingat banyak besaran atau kuantitas dalam fisika yang merupakan besaran vektor. Untuk operasi vektor yang lainnya, misalkan perkalian vektor akan kita bahas pada tulisan lainnya. Untuk memperdalam pemahaman Anda tentang vektor, disarankan untuk mempelajari penyelesaian soal-soal tentang vektor. Soal-soal tentang vektor dapat Anda lihat pada buku fisika SMA kelas 10.
