Hukum gravitasi Newton merupakan hukum yang menjelaskan tentang gaya gravitasi yang bekerja pada benda.
Memahami gaya gravitasi, yaitu gaya yang membuat kita menapak di bumi, gaya yang mempertahankan bulan agar tetap berada pada orbitnya mengelilingi bumi, termasuk menjaga agar bumi tetap pada orbitnya mengelilingi matahari, telah lama menjadi tujuan dari ilmu fisika.
Gaya gravitasi tidak hanya terbatas pada jangkauan bumi matahari, tetapi bahkan mencapai seluruh galaksi Bima Sakti kita. Gaya gravitasi menjaga milyaran bintang-bintang di Galaksi ini beserta molekul-molekul yang tak terhitung jumlahnya termasuk di dalamnya debu galaksi yang terdapat di antara bintang-bintang itu agar tetap saling seimbang satu sama lain.
Bahkan gaya gravitasi ini juga bertanggung jawab terhadap sebuah struktur misterius dalam alam semesta ini yang disebut dengan “lubang hitam”.
Pada artikel edufisika kali ini, kita akan membahas tentang hukum gravitasi Newton. Dengan memahami konsep ini, kita dapat menjelaskan gaya gravitasi yang bekerja pada benda-benda atau sistem-sistem seperti yang telah disebutkan di atas.
Lompat baca ke bagian berikut :
Hukum Gravitasi Newton
Pada masa lampau, orang-orang di masa itu telah mengetahui bahwa mereka mengalami tarikan ke arah bawah menuju bumi. Hal ini mereka simpulkan dari hasil pengalaman sehari-hari saat mereka jatuh atau saat melihat benda-benda jatuh. Mereka menganggap bahwa tarikan ke bawah tersebut merupakan sifat unik dari bumi yaitu selalu menarik benda-benda yang ada di atasnya. Mereka tidak menyadari bahwa tarikan yang sama juga berlaku terhadap benda-benda lainnya yang tampak di langit, misalnya bulan, matahari, planet-planet, dan bintang-bintang lainnya.
Sampai akhirnya, pada tahun 1665 pandangan itu diubah oleh seorang pemuda berusia 23 tahun, bernama Isaac Newton.
Newton menyadari bahwa gaya ini sebenarnya juga bertanggung jawab mempertahankan bulan agar berada pada orbitnya. Bahkan Newton juga menunjukkan bahwa semua benda di alam semesta ini menarik benda-benda lainnya dengan jenis gaya yang sama.
Kecenderungan benda-benda ini untuk bergerak ke arah (atau tertarik) benda lainnya disebut dengan gravitasi. Gravitasi benda-benda ini dirumuskan oleh Newton dalam sebuah hukum yang disebut hukum Gravitasi, yang kemudian dikenal sebagai hukum gravitasi Newton.
Hukum gravitasi Newton mempostulatkan bahwa:
Terdapat sebuah gaya tarik-menarik antara tiap pasangan partikel titik. Gaya tarik-menarik ini sebanding dengan perkalian massa partikel titik tersebut dan berbanding terbalik dengan kuadrat jarak pisah kedua partikel tersebut.
Jadi, jika kita memiliki pasangan partikel dan misalkan massa partikel pertama adalah m1, massa partikel kedua adalah m2 dan kedua massa ini terpisah sejauh r, seperti diperlihatkan dalam gambar berikut,
Maka berdasarkan hukum gravitasi Newton di atas, pada pasangan partikel kita ini akan mengalami gaya tarik-menarik yang dapat dituliskan secara matematis sebagai:
$${F_{12}} = G\frac{{{m_1}{m_2}}}{{{r^2}}}\ \ …\ \ (1)$$
Dengan F12 menyatakan gaya gravitasi yang dikerjakan oleh partikel 2 terhadap partikel 1, dan G adalah sebuah konstanta yang disebut dengan konstanta gravitasi universal, yang bernilai :
G = 6,67 x 10-11 N.m2/kg2
Persamaan di atas biasa disebut persamaan hukum gravitasi Newton.
Sesuai dengan hukum III Newton tentang gerak, jika partikel 1 mengerjakan gaya pada partikel 2 yaitu F12 maka tentu saja partikel 1 juga mengerjakan gaya terhadap partikel 2 yang dinyatakan dengan F21 yang nilainya sama dengan F12 tetapi arahnya berlawanan.
Apakah hukum gravitasi Newton ini juga bekerja terhadap benda-benda berupa manusia dengan manusia?
Tentu jawabannya adalah ya! Tidak ada pengecualian dalam hukum gravitasi Newton di atas. Asalkan terdapat pasangan benda (dua benda) yang memiliki massa dan terpisah sejauh jarak r, maka dua benda itu akan mengalami gravitasi.
Misalkan terdapat dua orang masing-masing dengan massa m1 = 65 kg dan m2 = 50 kg yang terpisah sejauh 0,5 m. Mari kita hitung gaya gravitasi antara keduanya berdasarkan hukum gravitasi Newton di atas. Untuk itu kita anggap kedua orang ini dapat diperlakukan sebagai partikel dengan massanya masing-masing.
Kita peroleh :
$$F = G\frac{{{m_1}{m_2}}}{{{r^2}}} = \left( {6,67 \times {{10}^{ – 11}}} \right)\frac{{\left( {65} \right)\left( {50} \right)}}{{{{\left( {0,5} \right)}^2}}} \cong 8,7 \times {10^{ – 7}}\ N$$
Jadi, kedua orang tersebut saling tarik menarik dengan tarikan sebesar 8,7 x 10-7 newton.
Nilai ini sangat kecil. Bandingkan dengan gaya tarik bumi terhadap orang tersebut (ingat bahwa gaya tarik bumi –yakni gaya gravitasi bumi terhadap benda– tidak lain adalah berat benda tersebut). Untuk orang pertama nilainya w = mg = (65)(10) = 650 newton sedangkan untuk orang pertama w = (50)(10) = 500 newton. Berat orang lebih besar sekitar 600 juta kali dibandingkan gaya gravitasi antar kedua orang tersebut!
Validasi Kebenaran Hukum Gravitasi Newton
Bagaimana Newton dan kita dapat meyakini bahwa hukum gravitasi yang dikemukakannya berlaku benar?
Newton melakukannya dengan membandingkan percepatan bulan pada orbitnya dengan percepatan benda-benda yang jatuh pada permukaan bumi.
Ingat bahwa sesuai dengan hukum gerak Newton, yang sudah kita tahu kebenarannya, gaya tarik gravitasi yang ditimbulkan oleh bumi terhadap benda akan menyebabkan percepatan pada benda tersebut (ingat hukum II Newton: F = ma). Hal ini tentu saja berlaku baik untuk bulan maupun benda-benda yang ada di permukaan bumi, misalnya apel yang jatuh dari pohonnya.
Asumsikan bulan dan bumi dapat dianggap sebagai partikel yang massanya terkonsentrasi pada titik pusatnya agar hukum gravitasi Newton dapat digunakan. Dengan demikian, gaya gravitasi pada bulan akibat bumi, sesuai dengan hukum gravitasi Newton, adalah :
$${F_g} = G\frac{{{m_B}{m_b}}}{{r_{Bb}^2}}$$
Dengan mB adalah massa bumi, mb adalah massa bulan dan rBb adalah jarak titik pusat bumi ke titik pusat bulan.
Anggap hanya gaya gravitasi ini saja yang bekerja pada bulan sehingga sesuai dengan hukum II Newton, harus berlaku
$$\sum F = ma\ \ \Rightarrow \ \ a = \frac{F}{{{m_b}}}$$
Karena $F = {F_g} = G\frac{{{m_B}{m_b}}}{{r_{Bb}^2}}$, maka persamaan di atas menjadi
$$a = G\frac{{{m_B}}}{{r_{Bb}^2}}\ \ …\ \ (2)$$
Hasil di atas menunjukkan bahwa percepatan yang dialami bulan tidak dipengaruhi oleh massa bulan tetapi justru hanya dipengaruhi oleh massa bumi (mB).
Berdasarkan hasil ini, kita bisa menyimpulkan bahwa jika kita menghitung percepatan sebuah benda akibat gravitasinya dengan bumi, misalnya percepatan benda-benda yang ada di permukaan bumi, maka kita akan peroleh hasil yang sama dengan persamaan (2) di atas. Perbedaannya tentu saja hanya pada jarak antara bumi ke benda yang kita tinjau, seperti yang tampak pada gambar berikut.
Dengan demikian, tanpa perlu memulainya lagi dengan hukum II Newton tentang gerak, untuk benda yang dekat ke permukaan bumi, percepatan benda tersebut adalah:
$$a = G\frac{{{m_B}}}{{{r^2}}}$$
Dengan r adalah jarak titik pusat bumi ke benda yang ditinjau. Berdasarkan gambar 3 di atas, tampak bahwa r = rB + h. Dengan mengganti r pada persamaan di atas menjadi rB + h, maka persamaan tersebut menjadi:
$$a = G\frac{{{m_B}}}{{{{\left( {{r_B} + h} \right)}^2}}}$$
Untuk benda yang dekat ke permukaan bumi (seperti buah apel ke pohonnya), nilai h ini jauh lebih kecil dibandingkan jarak permukaan bumi ke titik pusatnya (jari-jari bumi) sehingga h ini dapat kita abaikan pada permukaan di atas. Oleh karena itu persamaan di atas dapat ditulis menjadi:
$$a = G\frac{{{m_B}}}{{{r_B}^2}}$$
Percepatan benda-benda di dekat permukaan bumi sudah kita tahu biasa disimbolkan dengan g sehingga persamaan di atas selanjutnya kita tuliskan sebagai :
$$g = G\frac{{{m_B}}}{{r_B^2}}\ \ …\ \ (3)$$
Sekarang kita bandingkan percepatan yang dialami oleh bulan dan apel yang berada dekat ke permukaan bumi. Persamaan percepatan bulan ke bumi diberikan oleh persamaan (2) sedangkan persamaan percepatan apel diberikan oleh persamaan (3).
Dari data astronomi, diketahui bahwa jarak bumi ke bulan adalah sekitar 60 kali jari-jari bumi atau bisa kita tuliskan
$${r_{Bb}} = 60{r_B}$$
Dengan demikian, jika nilai rBb di atas kita substitusikan pada persamaan percepatan bulan akibat gravitasi bumi (persamaan 2), maka akan diperoleh:
$$a = G\frac{{{m_B}}}{{r_{Bb}^2}} = G\frac{{{m_B}}}{{{{\left( {60{r_B}} \right)}^2}}} = G\frac{{{m_B}}}{{3600\,{r_B}^2}}$$
Karena $g = G\frac{{{m_B}}}{{r_B^2}}$ , maka hasil di atas menjadi
$$a = \frac{g}{{3600}}$$
Dengan kata lain, percepatan yang dialami oleh bulan akibat gaya gravitasi bumi adalah 1/3600 kali lebih kecil dibandingkan dengan percepatan benda-benda yang ada dipermukaan bumi.
Persamaan a = g/3600 dapat ditulis menjadi
$$\frac{g}{a} = 3600\ \ …\ \ (4)$$
Nah, untuk membuktikan bahwa g/a = 3600, kita perlu menghitung percepatan bulan sebagai berikut.
Dari data astronomi, diketahui bahwa jarak bulan dari pusat bumi adalah sejauh 3,84 x 108 m. Periode orbit bulan adalah T = 27,3 hari = 2,36 x 106 sekon. Sehingga, dengan menggunakan persamaan percepatan sentripetal, kita dapat menghitung percepatan bulan yaitu:
$$a = \frac{{{v^2}}}{r}$$
Dengan r adalah jari-jari orbit bulan dan v adalah kecepatan linear bulan yang dapat dihitung dari persamaan :
$$v = \frac{s}{T} = \frac{{2\pi r}}{T}$$
dengan r adalah jari-jari orbit bulan.
Dengan demikian, percepatan sentripetal bulan adalah
$$a = \frac{{{v^2}}}{r} = \frac{{{{\left( {\frac{{2\pi r}}{T}} \right)}^2}}}{r} = \frac{{4{\pi ^2}r}}{{{T^2}}} = \frac{{4\pi \left( {3,84 \times {{10}^8}} \right)}}{{{{\left( {2,36 \times {{10}^6}} \right)}^2}}} = 2,72 \times {10^{ – 3}}\ \ {\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}$$
Jadi percepatan bulan akibat gaya gravitasi bumi adalah 2,72 x 10-3 m/s2.
Sementara itu kita sudah tahu bahwa g = 9,81 m/s2 maka
$$\frac{g}{a} = \frac{{9,81}}{{2,72 \times {{10}^{ – 3}}}} = 3607 \cong 3600$$
Tampak bahwa hasilnya sama dengan yang diperkirakan dalam persamaan (4)!
Dalam kata-kata Newton untuk hasil ini: “Saya telah membandingkan gaya yang dibutuhkan untuk menjaga agar bulan tetap pada orbitnya mengelilingi bumi dengan gaya gravitasi yang dialami oleh benda-benda di permukaan bumi, dan memperoleh hasil keduanya memiliki nilai yang sangat mendekati.”
Tentang Syarat “Partikel Titik” dalam Hukum Gravitasi Newton: Teorema Kulit
Perhatikan bahwa dalam hukum gravitasi Newton, pasangan benda yang dimaksudkan dalam hukum tersebut adalah dalam bentuk partikel titik.
Pada bagian di atas, saat memverifikasi kebenaran hukum gravitasi Newton itu, kita menerapkan hukum tersebut pada benda berupa bumi dan bulan serta bumi dan apel. Apakah benda-benda ini memenuhi syarat sebagai partikel titik?
Jika kita bandingkan jarak bumi ke bulan dan ukuran jari-jari bumi dan bulan, memang ukuran jari-jari bumi dan bulan jauh lebih kecil dibandingkan jarak antara bumi dan bulan sehingga kita bisa menerima jika bumi dan bulan dapat kita perlakukan sebagai partikel titik dalam menghitung gaya gravitasi antara keduanya. Ibarat dua buah bola kaki yang tentu saja tidak dapat dianggap sebagai titik. Tetapi, jika salah satu bola ditempatkan di puncak monas dan satunya lagi di tanah, maka bola yang ada di puncak monas akan tampak seperti titik dilihat dari bola yang ada di tanah. Sebaliknya, bola di tanah akan tampak seperti titik jika dilihat dari bola yang ada di puncak monas.
Tetapi bagaimana dengan antara apel dan bumi?
Di lihat dari bumi, apel memang akan tampak seperti partikel titik, tetapi apakah apel juga dapat melihat bumi sebagai sebuah partikel titik?
Atas persoalan ini, Newton perlu berpikir keras untuk menemukan penjelasannya. Namun akhirnya ia mampu menunjukkan secara matematis bahwa sebuah benda yang memiliki distribusi massa berbentuk simetri bola akan mengerjakan gaya gravitasi terhadap sebuah benda partikel titik tanpa bergantung pada apakah benda titik tersebut terletak pada permukaan benda bola tersebut atau di luar permukaan bola tersebut, dengan gaya yang seolah-olah dikerjakan oleh massa bola yang terkonsentrasi titik pusatnya.
Penjelasan atas penyelesaian masalah di atas dirangkum dalam sebuah teorema yang disebut teorema kulit. Teorema kulit menyatakan bahwa:
Kulit sebuah benda berbentuk bola seragam akan mengerjakan gravitasi terhadap sebuah partikel yang berada di luar kulit benda tersebut yang besarnya sama dengan gravitasi yang ditimbulkan jika massa kulit tersebut terkonsentrasi pada sebuah titik di tengah-tengahnya.
Bumi dapat dipandang terdiri atas tumpukan kulit-kulit. Kulit-kulit ini mengerjakan gravitasi terhadap apel dengan gaya gravitasi yang seolah-olah berasal dari massa kulit yang terkonsentrasi pada titik pusat kulit bola bumi tersebut. Oleh karena itu, apel akan melihat bahwa gravitasi bumi berasal dari sebuah titik yang terletak di pusat bumi.
Prinsip Superposisi Gaya Gravitasi yang Bekerja pada Benda
Kita sudah mengetahui bahwa hukum gravitasi Newton berbicara tentang gaya tarik-menarik antara “pasangan” partikel titik. Kata pasangan mengandung arti dua buah benda. Hal ini jelas tampak dari persamaan matematisnya yang hanya mengandung dua massa benda, yaitu massa masing-masing benda pasangan tersebut.
Lalu, bagaimana jika terdapat lebih dari dua benda? Misalnya ada tiga buah partikel titik? Bagaimana gaya gravitasi bekerja pada ketiga benda partikel ini?
Untuk kasus ini, kita harus menggunakan prinsip superposisi. Yaitu, kita harus menghitung gaya gravitasi yang ditimbulkan oleh masing-masing partikel terhadap partikel lainnya kemudian menjumlahkan gaya-gaya gravitasi tersebut secara vektor.
Untuk lebih jelasnya, mari kita mengerjakan contoh berikut.
Gambar berikut menunjukkan susunan tiga buah partikel. Partikel 1 memiliki massa m1 = 6,0 kg dan partikel 2 memiliki massa yang sama dengan partikel 3 yaitu m2 = m3 = 4,0 kg. Jarak partikel 1 ke partikel 2 sama dengan jarak partikel 1 ke partikel 3 yaitu a = 2,0 cm. Berapa besar gaya gravitasi yang bekerja pada partikel 1?
Jawaban :
Gaya gravitasi yang bekerja pada partikel 1 tentu ditimbulkan oleh partikel 2 dan partikel 3. Oleh karena itu kita perlu menghitung gaya gravitasi oleh tiap-tiap partikel tersebut kemudian menjumlahkannya untuk menentukan gaya gravitasi total yang bekerja pada partikel 1.
Besar gaya gravitasi pada partikel 1 oleh partikel 2, dinyatakan dengan F12 adalah :
$${F_{12}} = G\frac{{{m_1}{m_2}}}{{{r^2}}} = \left( {6,67 \times {{10}^{ – 11}}} \right)\frac{{\left( {6,0} \right)\left( {4,0} \right)}}{{{{\left( {0,020} \right)}^2}}} = 4,0 \times {10^{ – 6}}\,{\rm{N}}$$
Karena gaya adalah besaran vektor, maka F12 ini memiliki arah yang ditunjukkan dalam gambar A berikut.
Besar gaya gravitasi pada parikel 1 oleh partikel 3, dinyatakan dengan F13 adalah :
$${F_{13}} = \left( {6,67 \times {{10}^{ – 11}}} \right)\frac{{\left( {6,0} \right)\left( {4,0} \right)}}{{{{\left( {0,040} \right)}^2}}} = 1,0 \times {10^{ – 6}}\,{\rm{N}}$$
Arah vektor F13 ini ditunjukkan dalam gambar A di atas.
Sekarang gaya gravitasi total yang bekerja pada partikel 1 dapat dihitung dengan menjumlahkan gaya F12 dan F13. Dengan memperhatikan gambar B di atas, kita dapat menuliskan penjumlahan kedua gaya ini sebagai :
$${F_{1\,total}} = \sqrt {{{\left( {{F_{12}}} \right)}^2} + {{\left( { – {F_{13}}} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {4,0 \times {{10}^{ – 6}}} \right)}^2} + {{\left( { – 1,0 \times {{10}^{ – 6}}} \right)}^2}} = 4,1 \times {10^{ – 6}}\,{\rm{N}}$$
Arah gaya F1 total adalah
$$\tan \theta = \frac{{{F_{12}}}}{{ – {F_{13}}}}\,\, \Rightarrow \,\,\theta = {\tan ^{ – 1}}\frac{{{F_{12}}}}{{ – {F_{13}}}} = {\tan ^{ – 1}}\frac{{4,0 \times {{10}^{ – 6}}}}{{ – 1,0 \times {{10}^{ – 6}}}} = – 76^\circ $$
Perhatikan hasil tentang arah ini. Kita peroleh $\theta = – 76^\circ $.
Perhatikan gambar B, kita bisa melihat sudut $\theta $ yang dimaksud ini. Yaitu sudut yang diukur dari sumbu x negatif berputar searah jarum jam sebesar 76o. Jika kita ingin menyatakan arah ini relatif terhadap arah sumbu x positif maka kita harus menambahkan nilai sudut $\theta $ ini dengan 180o. Sehingga diperoleh $\theta $ = 180o + (-76o) = 104o.
Jadi arah gaya gravitasi total pada partikel 1 adalah 104o diukur dari sumbu x positif berlawanan arah dengan arah jarum jam. Besar gaya gravitasi tersebut adalah 4,1 x 10-6 newton.
Nah, itulah pembahasan kita kali ini tentang hukum gravitasi Newton. Meskipun hukum ini berhasil dengan sangat baik menjelaskan berbagai fenomena, terdapat kelemahan dari hukum gravitasi ini yang memicu pengembangan teori gravitasi lebih lanjut. Teori gravitasi lanjut ini akan kita bahas pada tulisan lainnya.
Soal-soal yang berkaitan dengan hukum gravitasi Newton dapat Anda pelajari di tulisan ini.
Selamat belajar!
