Hukum-hukum Newton: 15 Soal dan Pembahasan Detailnya!

Pada tulisan ini, kita akan menerapkan hukum Newton dalam menyelesaikan soal-soal fisika.

Newton, atau lengkapnya Isaac Newton, merupakan seorang dedengkot fisika yang namanya menjulang tinggi karena kontribusinya yang sangat penting dan beragam dalam fisika klasik. Kita mungkin mengetahui, atau paling tidak pernah mendengarkan dua hukum Newton ini:

1. Hukum Newton tentang gerak
2. Hukum Newton tentang gravitasi

Hukum Newton tentang gerak inilah, yang lebih dikenal dengan nama hukum gerak Newton, yang merupakan salah satu fondasi fisika klasik. Demikian halnya dengan hukum gravitasi Newton yang sukses menjelaskan sejumlah fenomena tata surya sebatas yang dapat diamati dan dicatat dengan peralatan eksperimen pada masa itu.

Pada tulisan ini, kita akan memokuskan pembahasan kita pada hukum Newton tentang gerak.

Hukum-hukum Newton menggabungkan antara definisi dan pengamatan alam sekitar yang sebagian merupakan konsep-konsep intuitif dan sejumlah asumsi tentang karakteristik ruang dan waktu.

Hukum-hukum gerak Newton ini tidak akan tampak secara jelas dengan sendirinya. Hukum-hukum ini seolah-olah terkubur dalam pikiran kita oleh pola pikir Aristoteles mengenai sistem mekanika.

Dalam pandangan Aristoteles tentang sistem mekanis, sebuah gaya dipandang sebagai sesuatu yang dibutuhkan untuk mempertahankan agar benda tetap bisa bergerak beraturan. Pandangan ini telah diterima selama ribuan tahun karena secara intuisi (menurut perasaan) benar. Dibutuhkan penalaran yang mendalam dari hasil pengamatan dan pemikiran yang murni untuk dapat menyingkap kekeliruan pola pikir aristotelian ini.

Dan pada umumnya kita tidak terbiasa berpikir berdasarkan kerangka pikir Newton. Hal inilah yang menyebabkan soal-soal hukum Newton ini terasa sulit bagi kebanyakan kita. Dibutuhkan banyak usaha dan praktik untuk belajar menganalisa situasi yang diberikan dalam soal berdasarkan sudut pandang newtonian.

Dalam tulisan ini, kita akan mencoba melihat bagaimana penerapan hukum-hukum Newton dalam sejumlah soal-soal, dan dengan cara ini –hanya dengan cara ini– kita akan benar-benda dapat mencapai pemahaman tentang hukum-hukum Newton tentang gerak tersebut.

Perlu dicatat bahwa meskipun hukum-hukum Newton sangat akurat menjelaskan gejala-gejala mekanika dalam pengalaman hidup kita sehari-hari, hukum-hukum ini tetap memiliki validitas atau jangkauan kebenaran yang terbatas. Jika apa yang kita amati bergerak dengan kecepatan yang sangat tinggi, yakni mencapai kecepatan cahaya, atau kita berada dalam dunia yang sangat kecil—lebih kecil dari dunia atom-atom–, maka hukum-hukum Newton ini tidak akan berlaku benar lagi. Sebagai gantinya kita harus menggunakan teori relativitas Einstein pada kecepatan yang tinggi dan menggunakan teori kuantum untuk benda-benda berukuran yang sangat-sangat kecil (dunia kuantum).

Sekarang, kita akan menerapkan hukum Newton ini dalam menyelesaikan sejumlah soal-soal. Seperti biasa soal-soal dalam posting ini diambil dari soal-soal uji kompetensi yang terdapat dalam buku fisika yang ditulis oleh Marthen Kanginan dan diterbitkan oleh PT. Erlangga.

Soal-soal Hukum Newton tentang Gerak

Soal 1

Sebuah benda bermassa 1 kg mula-mula bergerak mendatar dengan kecepatan 10 m/s. kemudian, diberi gaya konstan 2 N selama 10 s searah dengan arah gerak. Besar kecepatan benda setelah 10 sekon tersebut adalah …

Pembahasan :

Soal ini, dan semua soal lainnya, adalah contoh penerapan hukum Newton 2. Ingat, hukum Newton 2 adalah dasar dari semua soal-soal dinamika.

Bunyi hukum Newton 2: Percepatan yang dialami oleh sebuah benda sebanding dengan resultan gaya yang bekerja pada benda tersebut dan berbanding terbalik dengan massanya.

Sesuai dengan hukum Newton II, gaya sebesar 2 N yang bekerja pada benda bermassa 1 kg akan menyebabkan adanya percepatan pada benda. Besar percepatan yang dihasilkan dapat dihitung dari persamaan hukum II Newton tentang gerak, yaitu: $$\sum F = ma\ \ \Rightarrow \ \ a = \frac{{\sum F }}{m}$$

Gaya yang bekerja pada benda adalah 2 N dan massa benda adalah 1 km, sehingga diperoleh $$a = \frac{2}{1} = 2\ {\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}$$

Karena gaya yang bekerja pada benda konstan maka percepatan a yang dihasilkannya juga konstan.

Dengan demikian, benda mengalami gerak dengan percepatan konstan (GLBB) selama 10 sekon. Dengan menggunakan rumus-rumus GLBB, kita dapat menghitung kecepatan benda setelah 10 sekon, yaitu: $${v_t} = {v_o} + at$$

Karena kecepatan awal benda adalah 10 m/s atau v_o = 10 m/s maka $${v_t} = 10 + \left( 2 \right)\left( {10} \right) = 30\ {\rm{m/s}}$$

Jadi, kecepatan benda setelah 10 sekon adalah 30 m/s.

Soal 2

Sebuah balok (m=2 kg) mula-mula diam terletak di atas bidang datar licin kemudian didorong dengan sebuah gaya konstan mendatar sebesar F₁ = 8 N. Setelah 3 s, gaya lain F₂ = 8 N dikerjakan pada sebuah benda dengan arah perlawanan dengan F₁. Besar perpindahan benda setelah 4 s pertama adalah …

Pembahasan :

Mula-mula bekerja gaya F₁ = 8 N ke arah kanan pada benda bermassa m = 2 kg. Akibatnya benda tersebut akan mengalami percepatan sesuai dengan hukum II Newton: $$\sum F = ma\ \ \Rightarrow \ \ a = \frac{{\sum F }}{m}$$

Karena gaya yang bekerja pada benda adalah F₁ yang besarnya 8 N, maka percepatan yang ditimbulkannya berdasarkan hukum II Newton di atas adalah $$a = \frac{8}{2}\ = 4\ {\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}$$

Arah percepatan ini adalah ke kanan.

Selanjutnya pada benda bekerja gaya lain yaitu F₂ yang besarnya sama dengan F₁ yakni 8 N tetapi arahnya berlawanan.

Karena kedua gaya yang bekerja pada benda memiliki besar yang sama dan arahnya berlawanan maka resultan kedua vektor yang bekerja pada benda tersebut atau $\sum F $ akan bernilai nol. Karena $\sum F = 0$ maka berdasarkan hukum II Newton, percepatan benda tersebut adalah nol atau dengan kata lain, benda mengalami gerak dengan kecepatan konstan (GLB).

Dari sini kita bisa menghitung perpindahan benda setelah 4 sekon pertama geraknya.

Kita sudah tahu bahwa pada 3 menit pertama geraknya, benda tersebit bergerak dengan percepatan a = 4 m/s² seperti yang telah kita hitung di atas. Dengan percepatan ini, perpindahan yang dialami benda adalah $${s_1} = {v_o}t + \frac{1}{2}a{t^2}$$

Benda mula-mula berada dalam keadaan diam sehingga v_o = 0, t = 3 sekon, dan percepatan a benda pada rentang waktu 3 sekon ini adalah a = 4 m/s². Dengan demikian perpindahan benda pada selang waktu ini adalah $${s_1} = 0 + \frac{1}{2}\left( 4 \right){\left( 3 \right)^2} = 18\ {\rm{m\ ke\ kanan}}$$

Selanjutnya pada menit ke empat, benda bergerak dengan gerak lurus beraturan (GLB) dengan kecepatan yang konstan. Besar kecepatan ini dapat kita hitung dengan meninjau gerak benda dari keadaan awal. Gerak ini adalah gerak GLBB sehingga dengan persamaan GLBB: $${v_t} = {v_o} + at\ \ {\rm{\ \ atau }}\ \ {v_t} = 0 + \left( 4 \right)\left( 3 \right) = 12\ {\rm{m/s}}$$

Dalam selang waktu satu detik, benda ini akan menempuh perpindahan sebesar $${s_2} = vt = \left( {12} \right)\left( 1 \right) = 12$$

Dengan demikian, perpindahan total benda dalam waktu 4 sekon sejak mulai bergerak adalah  $$s = {s_1} + {s_2} = 18 + 12 = 30\ {\rm{m}}$$

Jadi, perpindahan yang dialami oleh benda dalam kurun waktu 4 sekon sejak mulai bergerak adalah 30 m.

Soal 3

Gaya F sebesar 12 N bekerja pada benda A bermassa m₁ yang menyebabkan benda A mengalami percepatan sebesar 8 m/s². Jika gaya F bekerja pada benda B bermassa m₂, percepatan benda B sebesar 2 m/s². Jika gaya F bekerja pada benda C bermassa (m₁ + m₂), percepatan benda C sebesar …

Pembahasan :

Saat F = 12 N bekerja pada benda A yang bermassa m₁ maka percepatan yang dialami oleh benda A adalah 8 m/s². Berdasarkan persamaan hukum II Newton, kita dapat menentukan massa benda A berdasarkan informasi tentang besar gaya dan percepatan yang dialami benda, yaitu: $$\sum F = ma\ \ \Rightarrow \ \ m = \frac{{\sum F }}{a} = \frac{{12}}{8} = \frac{3}{2}\ kg$$

Saat gaya F = 12 newton bekerja pada benda B dengan massa m­₂, maka percepatan yang dialami oleh bedan B adalah 2 m/s². Sesuai dengan hukum Newton II, kita dapat menentukan massa benda B, yaitu: $$\sum F = ma\ \  \Rightarrow \ \ m = \frac{{\sum F }}{a} = \frac{{12}}{2} = 6\ kg$$

Jika gaya F = 12 newton bekerja pada benda C maka percepatan yang ditimbulkan pada benda C tentu dapat dihitung dengan menggunakan hukum II Newton. Kita ketahui bahwa massa benda C adalah m₁ + m₂ yaitu massa benda A ditambah dengan massa benda B, sehingga: $$\sum F = ma\ \ \Rightarrow \ \ a = \frac{{\sum F }}{m} = \frac{{12}}{{\left( {\frac{3}{2} + 6} \right)}} = \frac{{12}}{{\frac{{15}}{2}}} = \frac{{24}}{{15}} = 1,6\ {\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}$$

Jadi percepatan yang ditimbulkan oleh gaya F yang besarnya 12 newton pada benda C yang massanya sama dengan massa benda A ditambah massa benda B adalah 1,6 m/s².

Soal 4

Balok A bermassa 100 g diletakkan di atas balok B bermassa 300 g, kemudian balok B didorong oleh gaya 5 N vertikal ke atas. Jika balok tidak bergerak, besar gaya normal yang dikerjakan oleh balok B pada balok A adalah …

Pembahasan :

Situasi soal ini digambarkan kurang lebih seperti dalam gambar A berikut.

Karena kita ingin menentukan gaya yang bekerja pada balok A, yakni kita ingin menentukan gaya normal yang dikerjakan oleh balok B pada balok A, maka kita tinjau balok A. Gaya-gaya yang bekerja pada balok A ditunjukkan dalam gambar B di atas.

Menurut hukum II Newton: $$\sum F = ma\ \ \Rightarrow \ \ {N_{AB}} – {W_A} = {m_A}a$$

Dengan N_AB adalah gaya normal yang dikerjakan balok B pada balok A. Gaya N_AB ini adalah contoh penerapan hukum Newton 3 yaitu: jika benda A melakukan gaya terhadap benda B maka benda B akan balik mengerjakan gaya pada benda A.

Karena balok tidak bergerak maka a = 0 sehingga persamaan di atas menjadi: $${N_{AB}} – {W_A} = 0\ \ \Rightarrow \ \ {N_{AB}} = {W_A}$$

yang menyatakan bahwa gaya normal balok B terhadap balok A sama dengan berat balok A.

Jadi, $${N_{AB}} = {W_A} = {m_A}g = \left( {0,1} \right)\left( {10} \right) = 1\ {\rm{newton}}$$

Soal 5

Tiga benda terletak di atas lantai licin dengan posisi sejajar dan saling bersentuhan dengan susunan berturut-turut dari kiri ke kanan A, B, dan C didorong secara horizontal ke kanan oleh gaya sebesar 30 N dan benda C didorong secara horizontal ke kiri oleh gaya sebesar 12 N. Jika perbandingan massa A, B, dan C adalah 1 : 2 : 3, besar gaya kontak antara A dan B adalah …

Pembahasan :

Situasi soal ini digambarkan sebagai berikut.

Karena gaya ke kanan lebih besar dari gaya ke kiri, maka tentu sistem akan bergerak ke kanan.

Percepatan sistem akibat resultan gaya yang bekerja pada sistem tentu memenuhi hukum II Newton, yaitu $$\sum F = ma\ \ \Rightarrow \ \ 30 – 12 = \left( {{m_A} + {m_B} + {m_C}} \right)a$$

Misalkan massa benda A adalah m, maka massa benda B adalah 2m dan massa benda C adalah 3m.

Dengan demikian, dari persamaan sebelumnya kita dapat menuliskan persamaan untuk percepatan a sebagai berikut: $$a = \frac{{18}}{{\left( {{m_A} + {m_B} + {m_C}} \right)}} = \frac{{18}}{{m + 2m + 3m}} = \frac{{18}}{{6m}} = \frac{3}{m}\ {\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}$$ Persamaan di atas menyatakan percepatan sistem.

Karena kita ingin menentukan gaya kontak antara benda A dan B, maka kita tinjau benda A.

Gaya-gaya yang bekerja pada benda A ditunjukkan dalam gambar berikut.

Dengan menerapkan hukum II Newton pada benda A akan diperoleh: $$\sum F = {m_A}a\ \ \Rightarrow \ \ 30 – {F_{AB}} = m\left( {\frac{3}{m}} \right)\ \ \ {\rm{atau}}\ \ \ 30 – {F_{AB}} = 3$$ Dari hasil di atas kita bisa memperoleh F_AB yaitu $${F_{AB}} = 30 – 3 = 27\ {\rm{newton}}$$

Jadi gaya kontak antara benda A dan benda B adalah 27 newton.

Soal 6

Sebuah balok dilepaskan pada permukaan bidang licin dengan kemiringan a. Jika diinginkan percepatan balok pada bidang tersebut sama dengan 50% percepatan gravitasinya, maka a tersebut bernilai …

Pembahasan :

Tinjau situasi balok pada bidang miring seperti gambar berikut.

Tetapkan sumbu x terletak sepanjang bidang miring dan sumbu y tentu saja tegak lurus terhadap sumbu x ini.

Gaya yang bekerja sepanjang sumbu x hanya komponen gaya berat yaitu mg sin $\alpha $.

Dengan menggunakan hukum II Newton pada sumbu x maka kita dapat menuliskan : $$\sum {{F_x}} = ma\ \  \Rightarrow \ \ mg\sin \alpha = ma$$

Dari persamaan di atas diperoleh $$a = g\sin \alpha $$

Karena kita menginginkan a = 50% percepatan gravitasi, maka ini berarti a = ½ g.

Jika hal ini kita masukkan ke dalam persamaan a di atas, maka kita akan peroleh $$\left( {\frac{1}{2}g} \right) = g\sin \alpha \ \ \Rightarrow \ \ \sin \alpha = \frac{1}{2}\ \ {\rm{atau}}\ \ \alpha = {30^o}$$

Jadi kemiringan sudut a agar percepatan benda sama dengan 50% percepatan gravitasi bumi atau a = ½ g adalah 30^o.

Soal 7

Seseorang dengan massa 60 kg berada dalam lift yang sedang bergerak ke bawah dengan percepatan 3 m/s². Jika percepatan gravitasi 10 m/s² desakan kaki orang pada lantai lift adalah …

Pembahasan :

Situasi orang dalam lift digambarkan kira-kira seperti berikut.

Gaya-gaya yang bekerja pada orang adalah gaya normal yang mengarah ke atas pada tiap-tiap kakinya dan gaya berat orang tersebut yang arahnya ke bawah.

Dengan menerapkan hukum II Newton pada orang ini untuk gerak vertikalnya maka dapat dituliskan: $$\sum {{F_y}} = ma\ \ \Rightarrow \ \ W – 2N = ma$$ Pada penulisan persamaan di atas, kita mengambil arah ke bawah (sesuai dengan arah gerak lift) bernilai positif.

Karena W = mg, maka $$mg – 2N = ma\ \ \Rightarrow \ \ 2N = m\left( {g – a} \right)$$ Dengan memasukkan nilai m = 60 kg, g = 10 m/s², dan a = 3 m/s² maka diperoleh $$2N = 60\left( 7 \right) = 420\ {\rm{newton}}$$

Jadi, desakan orang pada lantai lift tersebut adalah sebesar 420 newton. Kaki kiri memberi desakan sebesar 210 newton dan kaki kanan memberi desakan yang sama sehingga totalnya adalah 420 newton.

Soal-soal Penerapan Hukum Newton yang Melibatkan Gesekan

Soal 8

Lima balok masing-masing bermassa 2 kg, 3 kg, 4 kg, 5 kg, dan 6 kg dihubungkan dengan tali-tali tanpa massa (halus), kemudian ditarik mendatar di atas lantai dengan gaya sebesar 40 N seperti pada gambar berikut.

Koefisien gesekan antara masing-masing benda dan lantai 0,1; percepatan gravitasi 10 m/s². Besar tegangan tali penghubung benda 5 kg dan 6 kg adalah …

Pembahasan :

Untuk menentukan tegangan tali penghubung benda 6 kg dengan 5 kg, maka kita perlu meninjau gaya-gaya yang bekerja pada benda bermassa 6 kg. Gambar diagram gaya pada benda 6 kg ditunjukkan dalam gambar berikut.

Tidak terdapat gerak dalam arah vertikal sehingga hukum II Newton untuk arah vertikal akan memberikan hasil: $$\sum {{F_y}} = m{a_y}\ \ \Rightarrow \ \ N – mg = 0$$ Atau N = mg.

Jadi gaya normal pada benda 6 kg adalah N = (6)(10) = 60 newton.

Pada arah sumbu x, bekerja gaya-gaya: F, T, dan gaya gesekan f_g. Menurut hukum II Newton, untuk arah sumbu x berlaku: $$\sum {{F_x}} = m{a_x}\ \ \Rightarrow \ \ F – T – {f_g} = m{a_x}$$ Kita akan menentukan gaya tegangan tali yang menghubungkan benda 5 kg dan 6 kg, yaitu gaya T dalam persamaan di atas. Oleh karena itu persamaan di atas kita tuliskan menjadi: $$T = F – m{a_x} – {f_g}$$

Gaya gesekan f_g dapat ditentukan dengan persamaan ${f_g} = \mu N$. Karena N = mg maka ${f_g} = \mu mg$.

Pada persamaan di atas kita juga membutuhkan nilai percepatan dalam arah x yaitu a_x.

Untuk menentukan a_x, kita tinjau seluruh massa sebagai satu sistem.

Gaya-gaya yang bekerja pada sistem tersebut adalah gaya gesekan lantai dengan massa 2 kg, gaya gesekan lantai dengan massa 3 kg, dan seterusnya untuk semua massa mengalami gesekan dengan lantai.

Besar gaya gesekan tiap-tiap massa dengan lantai dihitung dengan persamaan gaya gesekan: $${f_g} = \mu N$$

Karena tidak terdapat gerak dalam arah vertikal, maka gaya normal N untuk masing-masing massa akan sama dengan gaya beratnya.

Mari kita tentukan terlebih dahulu gaya gesekan tiap massa dengan lantai.

Untuk massa m = 2 kg –> f_g = $\mu $N = $\mu $mg = (0,1)(2)(10) = 2 newton

Untuk massa m = 3 kg –> f_g = $\mu $N = $\mu $mg = (0,1)(3)(10) = 3 newton

Untuk massa m = 4 kg –> f_g = $\mu $N = $\mu $mg = (0,1)(4)(10) = 4 newton

Untuk massa m = 5 kg –> f_g = $\mu $N = $\mu $mg = (0,1)(5)(10) = 5 newton

Untuk massa m = 6 kg –> f_g = $\mu $N = $\mu $mg = (0,1)(6)(10) = 6 newton

Total keseluruhan gaya gesekan ini adalah 20 newton. Jadi, besarnya gaya gesekan yang bekerja pada sistem adalah 20 newton. Gambar berikut memperlihatkan diagram gaya yang bekerja pada sistem.

Catat bahwa, karena kita meninjau seluruh massa sebagai satu sistem, maka kita tidak perlu memperhitungkan gaya tegangan tali yang bekerja antara massa-massa tersebut.

Dengan menggunakan hukum II Newton, maka kita dapat menuliskan : $$\sum {{F_x}} = m{a_x}\ \ \Rightarrow \ \ {a_x} = \frac{{\sum {{F_x}} }}{m} = \frac{{40 – 20}}{{\left( {2 + 3 + 4 + 5 + 6} \right)}} = \frac{{20}}{{20}} = 1\ {\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}$$ Jadi percepatan sistem adalah 1 m/s².

Percepatan ini sama dengan percepatan yang dialami oleh seluruh massa, termasuk massa 6 kg yang akan kita tinjau.

Jadi, sekarang kita dapat menghitung gaya tegangan tali T antara massa 5 kg dengan 6 kg sebagai berikut.

Dari persamaan sebelumnya, telah diperoleh bahwa: $$T = F – m{a_x} – {f_g} = F – m{a_x} – \mu mg$$ Dengan memasukkan nilai-nilai: F = 40 newton, m = 6 kg, g = 10 m/s², m = 0,1, dan a_x = 1 m/s², maka diperoleh : $$T = 40 – (6)(1) – (0,1)(6)(10) = 28\ {\rm{newton}}$$

Jadi, besar gaya tegangan tali yang menghubungkan massa 5 kg dengan massa 6 kg adalah 28 newton.

Soal 9

Gambar berikut menunjukkan benda bermassa 4 kg di atas lantai yang ditarik oleh gaya sebesar 20 N dengan sudut a (sin a = 0,6). Jika benda bergerak dengan percepatan 0,5 m/s², nilai koefisien gesekan kinetis antara benda dan lantai adalah …

Pembahasan :

Pertama, kita perlu menggambarkan diagram gaya-gaya pada benda seperti ditunjukkan dalam gambar di bawah ini.

Dengan menggunakan hukum II Newton pada arah sepanjang sumbu x, kita peroleh : $$\sum {{F_x}} = m{a_x}\ \ \Rightarrow \ \ F\cos \alpha – {f_g} = m{a_x}$$

Karena gaya gesekan diberikan oleh persamaan : ${f_g} = \mu N$

Maka persamaan di atas menjadi: $$F\cos \alpha – \mu N = m{a_x}$$

Dari persamaan di atas, kita bisa menuliskannya untuk menentukan koefisien gesek $\mu $ yaitu: $$\mu N = F\cos \alpha – m{a_x}\ \ \Rightarrow \ \ \mu = \frac{{F\cos \alpha – m{a_x}}}{N}$$

Untuk menentukan N dalam persamaan di atas, kita tinjau gaya-gaya yang bekerja pada benda dalam arah vertikal dan menerapkan hukum II Newton. $$\sum {{F_y} = m{a_y}} \ \ \Rightarrow \ \ N + F\sin \alpha – mg = m{a_y}$$

Karena tidak terdapat gerakan dalam arah vertikal, maka persamaan di atas sama dengan nol atau $$N + F\sin \alpha – mg = 0$$

Dari persamaan di atas, kita dapat menuliskan untuk N yaitu: $$N = mg – F\sin \alpha $$

Sekarang kita dapat menentukan koefisien gesek m dengan menggunakan persamaan sebelumnya dan persamaan N ini, yaitu $$\mu = \frac{{F\cos \alpha – m{a_x}}}{N} = \frac{{F\cos \alpha – m{a_x}}}{{mg – F\sin \alpha }}$$

Dengan memasukkan nilai-nilai yang diberikan yaitu: F = 20 newton, $\sin \alpha = 0,6$ ($\cos \alpha $ ditentukan berdasarkan informasi dari nilai sin a seperti ditunjukkan dalam gambar), m = 4 kg, dan a_x = 0,5 m/s² maka akan diperoleh koefisien gesek $\mu = 0,5$.

Soal 10

Balok A bermassa 2 kg dan balok B bermassa 1 kg. Balok B mula-mula diam, kemudian bergerak ke bawah hingga menyentuh lantai setelah selang waktu …

Pembahasan :

Balok B akan bergerak ke bawah dengan percepatan a yang konstan. Mula-mula kecepatannya nol. Karena percepatannya konstan, kita bisa menghitung selang waktu balok B untuk menyentuh lantai dengan persamaan GLBB, yaitu: $${v_t} = {v_o} + at\ \ \Rightarrow \,\,t = \frac{{{v_t} – {v_o}}}{a} = \frac{{{v_t}}}{a}$$

Dari persamaan di atas tampak bahwa kita membutuhkan nilai v_t dan percepatan a.

Nilai v_t dapat diperoleh dengan menggunakan persamaan GLBB lainnya, yaitu: $$v_t^2 = v_o^2 + 2as\ = 2as$$

Jadi $$t = \frac{{{v_t}}}{a} = \frac{{\sqrt {2as} }}{a} = \sqrt {\frac{{2s}}{a}} $$

Nilai a dapat kita peroleh dengan menerapkan hukum II Newton pada kedua benda.

Tinjau benda A.

Gaya-gaya yang bekerja pada benda A ditunjukkan dalam gambar A berikut.

Dengan menggunakan hukum II Newton pada arah vertikal dan horizontal diperoleh:

Pada arah vertikal: $$\sum {{F_y} = m{a_y} = 0\ \ ({\rm{karena}}\ {\rm{tidak}}\ {\rm{ada}}\ {\rm{gerak}}\ {\rm{dalam}}\ {\rm{arah}}\ {\rm{y}})} $$

Atau $$N – {m_A}g = 0\ \ \Rightarrow \ \ N = {m_A}g$$

Pada arah horizontal: $$\sum {{F_x}} = m{a_x}\ \ \Rightarrow \ \ T – {f_g} = {m_A}{a_x}$$

Karena gaya gesekan diberikan oleh persamaan ${f_g} = \mu N = \mu {m_A}g$ maka persamaan di atas menjadi

$$T – \mu {m_A}g = {m_A}{a_x}\ \ …\ \ (1)$$

Tinjau benda B.

Gaya-gaya yang bekerja pada benda B ditunjukkan dalam gambar B di atas.

Gunakan hukum Newton pada arah vertikal diperoleh: $$\sum {{F_y}} = {m_B}{a_y}\ \ \Rightarrow \ \ {m_B}g – T = {m_B}{a_y}\ \ …\ \ (2)$$

Percepatan benda B dalam arah vertikal pasti sama dengan percepatan benda a dalam arah horizontal. Misalkan kita tuliskan percepatan tersebut sebagai a. Jadi a_x = a_y = a.

Dari persamaan (1) dan (2) kita bisa memperoleh nilai a yang dibutuhkan dengan mengeliminasi T, sebagai berikut:

Atau $$a = \frac{{\left( {{m_B} – \mu {m_A}} \right)}}{{\left( {{m_B} + {m_A}} \right)}}g$$

Dengan memasukkan nilai-nilai yang diberikan, maka diperoleh $$a = \frac{{(1 – [0,2 \times 2])}}{{\left( {1 + 2} \right)}}g = \frac{{0,6}}{3}\left( {10} \right) = 2\ \ {\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}$$

Sekarang kita dapat menentukan t dengan menggunakan persamaan sebelumnya yaitu: $$t = \sqrt {\frac{{2s}}{a}} = \sqrt {\frac{{2 \times 25}}{2}} = 5\,\,{\rm{sekon}}$$

Jadi selang waktu benda B untuk menyentuh lantai adalah 5 sekon.

Soal 11

Tinggi maksimum yang dapat dicapai benda B diukur dari lantai pada gambar di bawah ini adalah … (g = 10 m/s²)

Pembahasan :

Mula-mula B dalam keadaan diam. Kemudian dipercepat ke atas dengan percepatan yang sama dengan benda A.

Tepat saat mencapai tinggi 4 m dari atas tanah (saat A telah tiba di tanah), percepatan ke atas yang dialami B menjadi nol sehingga B hanya mengalami percepatan gravitasi bumi g yang arahnya ke bawah.

Kita dapat menghitung tinggi maksimum yang dapat dicapai B saat percepatan ke atas yang dialaminya telah bernilai nol dengan persamaan GLBB. Untuk itu kita perlu menghitung berapa kecepatan awal B tepat saat percepatan ke atasnya mulai bernilai nol. Kecepatan awal ini sama dengan kecepatan akhir B saat percepatan ke atas masih ada (belum nol).

Tinjau benda A.

Gaya-gaya yang bekerja pada benda A diberikan dalam gambar B berikut.

Gerak hanya terjadi dalam arah vertikal.

Dengan menggunakan hukum II Newton, dapat dituliskan : $$\sum F = {m_A}a\ \ \Rightarrow \ \ {m_A}g – T = {m_A}a\ \ …\ \ (1)$$

Tinjau benda B dengan gaya-gaya yang bekerja diberikan dalam gambar A di atas.

Dengan menggunakan hukum II Newton, kita dapat menuliskan: $$\sum F = {m_B}a\ \ \Rightarrow \ \ T – {m_B}g = {m_B}a\ \ …\ \ (2)$$

Jumlahkan persamaan (1) dan (2) sehingga kita dapat memperoleh persamaan untuk percepatan a, yaitu:

Atau $$a = \frac{{\left( {{m_A} – {m_B}} \right)}}{{\left( {{m_A} + {m_B}} \right)}}g$$

Dengan memasukkan nilai-nilai untuk m_A, m_B, dan g, kita dapat memperoleh nilai percepatan a sebesar: $$a = \frac{{\left( {5 – 3} \right)}}{{\left( {5 + 3} \right)}}\left( {10} \right) = 2,5\ {\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}$$

Sekarang kita dapat menghitung kecepatan akhir benda B tepat saat percepatan ke atas masih ada dengan persamaan GLBB berikut: $$v_t^2 = v_o^2 + 2ah$$

Dengan memasukkan nilai v_o = 0 (karena benda B mula-mula diam), a = 2,5 m/s², dan h = 4 m, maka kita akan peroleh kecepatan akhir sebesar : $$v_t^2 = 0 + 2\left( {2,5} \right)\left( 4 \right) = 20\ \ \Rightarrow \ \ {v_t} = \sqrt {20} \ {\rm{m/s}}$$

Nilai v_t ini adalah kecepatan awal saat benda B mulai bergerak dengan percepatan ke atas a yang bernilai nol. Dari sini kita bisa menghitung ketinggian maksimum yang dapat dicapai oleh benda B yaitu: $$v_t^2 = v_o^2 – 2gh\ \ \Rightarrow \ \ 2gh = v_o^2$$

Pada persamaan di atas kita telah menggunakan syarat tercapainya ketinggian maksimum yaitu saat v_t = 0 serta menggantikan percepatan a dengan g.

Dari persamaan di atas, kita bisa memperoleh ketinggian h sebagai berikut: $$h = \frac{{v_o^2}}{{2g}} = \frac{{{{\left( {\sqrt {20} } \right)}^2}}}{{2\left( {10} \right)}} = 1\ {\rm{m}}$$

Dengan demikian, tinggi maksimum yang dapat dicapai benda B diukur dari lantai adalah 4 m + 1 m = 5 m.

Soal 12

Balok bermassa 2M diletakkan di atas bidang miring dengan koefisien gesekan statis ${\mu} _{s}$ dan dihubungkan dengan benda lain bermassa M melalui katrol licin dengan memakai tali yang massanya diabaikan seperti pada gambar berikut. Kemiringan benda dapat diatur. Jika sudut $\varphi $ diperbesar, pada saat mencapai sudut ${\varphi} _{m}$, balok dalam keadaan hampir meluncur turun. Pada keadaan tersebut berlaku hubungan …

Pembahasan

Gaya-gaya yang bekerja pada benda bermassa 2M saat tepat akan meluncur ke bawah sepanjang bidang miring diperlihatkan dalam gambar B berikut.

Seperti biasa kita menetapkan sumbu x terletak sepanjang bidang miring untuk memudahkan.

Gaya-gaya yang bekerja sepanjang sumbu x adalah komponen gaya berat mg $\sin \varphi $, gaya tegangan tali T, dan gaya gesekan statis f_g. Di sini kita asumsikan benda bermassa 2M akan bergerak ke ujung bawah bidang miring sehingga arah gaya gesek kita ambil berarah ke atas.

Terapkan hukum II Newton pada arah sumbu x: $\sum {{F_x}} = m{a_x}$

Karena kita akan meninjau keadaan balok yang berada dalam keadaan tepat akan meluncur, berarti percepatan balok a_x = 0 sehingga hukum II Newton di atas menjadi: $$\sum {{F_x} = 0\ \ \Rightarrow \ \ mg\sin \varphi – T – {f_g} = 0} $$

Gaya gesekan f_g diberikan oleh persamaan : ${f_g} = \mu N$ sehingga persamaan di atas menjadi $$mg\sin \varphi – T – \mu N = 0\ \ …\ \ (1)$$

Selanjutnya kita tinjau gaya-gaya yang bekerja pada benda bermassa M dalam arah vertikal atau sumbu y. Berdasarkan gambar A di atas, tampak bahwa gaya-gaya yang bekerja dalam arah sumbu y ini adalah gaya normal N dan komponen gaya berat mg $\cos \varphi $. Dengan menerapkan hukum II Newton, dan tidak ada gerak dalam arah sumbu y maka kita dapat menuliskan : $$\sum {{F_y}} = 0$$

Atau $$N – mg\cos \varphi = 0\ \ \Rightarrow \ \ N = mg\cos \varphi $$

Masukkan nilai N ini ke dalam persamaan (1) sehingga diperoleh : $$mg\sin \varphi – T – \mu mg\cos \varphi = 0\ \ \ …\ \ (2)$$

Pada persamaan di atas, T tidak diketahui sehingga kita perlu menyatakannya dalam bentuk variabel yang diberikan dalam soal. Untuk melakukan hal itu, kita tinjau benda bermassa M yang tergantung.

Gaya-gaya yang bekerja pada benda bermassa M ini adalah gaya tegangan tali T dan gaya berat benda mg. Dengan menuliskan hukum II Newton untuk benda ini diperoleh: $$\sum {{F_y} = m{a_y} = 0\ \ \ \Rightarrow \ \ T – mg = 0} $$ Atau T = mg.

Karena massa benda adalah M maka persamaan kita tuliskan menjadi T = Mg.

Sekarang kita masukkan persamaan T ini ke dalam persamaan (2). Pada persamaan (2) massa benda yang dimaksud adalah 2M sehingga persamaan (2) akan menjadi: $$mg\sin \varphi – T – \mu mg\cos \varphi = 0\ \ \Rightarrow \ \ 2Mg\sin \varphi – Mg – \mu 2Mg\cos \varphi = 0$$

Dengan membagi setiap ruas persamaan dengan Mg, persamaan di atas dapat dibuat lebih sederhana menjadi: $$2\sin \varphi – 1 – 2\mu \cos \varphi = 0$$

Persamaan di atas dapat ditulis ulang menjadi: $$2\sin \varphi = 1 + 2\mu \cos \varphi $$

Hukum Newton pada Benda yang Bergerak Melingkar

Soal 13

Sebuah mobil dengan massa 1 ton melaju pada jalan mendatar yang menikung dengan jari-jari tikungan 54 m. Jika koefisien gesekan statis antara ban dan jalan 0,6; kelajuan maksimum mobil agar tidak tergelincir adalah sekitar …

Pembahasan :

Pada saat mobil bergerak menikung, mobil mengalami percepatan sentripetal sehingga menurut hukum II Newton, harus berlaku: $$\sum F = m{a_{sp}} = m\left( {\frac{{{v^2}}}{R}} \right)$$

Perhatikan gambar berikut yang menunjukkan gaya-gaya yang bekerja pada mobil.

Gaya yang berperan sebagai gaya sentripetal adalah gaya gesekan sehingga persamaan hukum II Newton di atas menjadi $$\sum F = m\left( {\frac{{{v^2}}}{R}} \right)\ \ \Rightarrow \ \ {f_{ges}} = m\left( {\frac{{{v^2}}}{R}} \right)\ \ …\ \ (1)$$

Gaya gesek yang bekerja dalam situasi ini adalah gaya gesekan statis. Gaya gesekan diberikan oleh persamaan: $${f_{ges}} = \mu N$$

Karena tidak ada gerakan mobil dalam arah vertikal, maka gaya normal yang bekerja pada mobil sama dengan berat mobil tersebut. Dengan demikian, persamaan gaya gesekan di atas menjadi $${f_{ges}} = \mu mg\ \ …\ \ (2)$$

Masukkan persamaan (2) ke dalam persamaan (1) sehingga diperoleh $${f_{ges}} = m\left( {\frac{{{v^2}}}{R}} \right)\ \  \Rightarrow \ \ \mu mg = m\left( {\frac{{{v^2}}}{R}} \right)$$

Karena kita ingin menghitung kecepatan, maka persamaan di atas dapat kita selesaikan untuk menentukan kecepatan yaitu: $${v^2} = \mu gR\ \ \ \Rightarrow \ \ v = \sqrt {\mu gR} $$

Masukkan nilai-nilai yang diberikan : $$v = \sqrt {\left( {0,6} \right)\left( {54} \right)\left( {10} \right)} = \sqrt {324} = 18\ {\rm{m/s}}$$

Soal 14

Sebuah mobil sedang menuruni sebuah bukit, seperti pada gambar. Jika q = 60^o dan jari-jari kelengkungan bukit 54 m, kelajuan maksimum mobil di A agar mobil tidak terlempar dari jalan kira-kira …

Pembahasan :

Saat mobil menuruni sebuah bukit, kita bisa memodelkannya sebagai sebuah gerak benda pada lintasan melingkar. Untuk gerak melingkar, hukum II Newton akan memberikan persamaan : $$\sum F = m\left( {\frac{{{v^2}}}{R}} \right)$$

Dari persamaan di atas tampak bahwa resultan gaya yang menyebabkan benda bergerak melingkar sebanding dengan kuadrat kecepatan linear benda. Namun demikian, besar gaya atau resultan gaya yang bekerja pada sebuah benda ditentukan oleh interaksi benda tersebut dengan lingkungannya sehingga nilainya terbatas. Dengan kata lain, bukan kecepatan benda yang menghasilkan resultan gaya yang bekerja pada benda.

Oleh karena itu terdapat kemungkinan bahwa kecepatan yang dialami oleh sebuah benda sangat besar sehingga persamaan hukum II Newton di atas tidak terpenuhi lagi. Pada situasi seperti ini, maka benda tidak lagi akan mengalami gerak melingkar atau dalam istilah soal ini: mobil akan terlempar dari lintasannya (jalan).

Tinjau gaya-gaya yang bekerja pada mobil pada saat berada di titik A.

Sesuai dengan hukum II Newton untuk gerak melingkar, maka: $$\sum F = m\left( {\frac{{{v^2}}}{R}} \right)$$

Gaya-gaya yang bekerja dalam arah radial pada mobil adalah mg $\cos \theta $ dan N sehingga persamaan di atas menjadi: $$mg\cos \theta – N = m\left( {\frac{{{v^2}}}{R}} \right)$$

Mobil akan tetap ada di jalan selama mg $\cos \theta $ lebih besar dari N sehingga resultannya akan menghasilkan gaya sentripetal yang besarnya sama dengan ruas kanan persamaan di atas.

Saat mobil tepat akan terlempar dari jalan, maka gaya normal N pada mobil tersebut sama dengan nol. Dengan memasukkan nilai ini ke dalam persamaan di atas, dapat diperoleh : $$mg\cos \theta = m\left( {\frac{{{v^2}}}{R}} \right)$$

Selesaikan persamaan di atas untuk v maka diperoleh : $${v^2} = Rg\cos \theta \ \ \ \Rightarrow \ \ \ v = \sqrt {Rg\cos \theta } $$

Jika kita masukkan nilai-nilai yang diberikan dalam soal, yaitu q = 60^o, jari-jari kelengkungan R = 54 m, dan g = 10 m/s², maka kita akan memperoleh : $$v = \sqrt {\left( {54} \right)\left( {10} \right)\left( {0,5} \right)} = \sqrt {270} = 16,4\ {\rm{m/s}}$$

Ini adalah kecepatan pada saat gaya normal mobil akan bernilai nol. Hal ini berarti kecepatan ini akan menyebabkan mobil mulai tidak menjejak di atas lintasan dan akan meninggalkan lintasan (jalan).

Soal 15

Sebuah benda dengan massa 200 g diikatkan pada ujung tali. Ujung lain tali diputar dengan kecepatan tangensial tetap 6 m/s sehingga benda menempuh lintasan melingkar vertikal dengan jari-jari 30 cm. Rasio tegangan tali saat benda berada di titik tertinggi dan titik terendah lintasannya adalah …

Pembahasan :

Situasi soal ini digambarkan sebagai berikut. Gaya-gaya yang bekerja pada tali di titik tertinggi dan titik terendahnya diperlihatkan dalam gambar B.

Dengan menerapkan hukum II Newton untuk gerak melingkar pada titik tertinggi, diperoleh persamaan : $${T_t} + mg = m\frac{{{v^2}}}{R}\ \ \ \Rightarrow \ \ \ {T_t} = m\left( {\frac{{{v^2}}}{R} – g} \right)\ \ …\ \ (1)$$

Sedangkan pada titik terendah akan diperoleh persamaan : $${T_r} – mg = m\left( {\frac{{{v^2}}}{R}} \right)\ \  \Rightarrow \ \ {T_r} = m\left( {\frac{{{v^2}}}{R} + g} \right)\ \ …\ \ (2)$$

Perbandingan (rasio) antara tegangan tali pada titik tertinggi (T_t) dengan tegangan tali pada titik terendah (T_r) adalah : $$\frac{{{T_t}}}{{{T_r}}} = \frac{{m\left( {\frac{{{v^2}}}{R} – g} \right)}}{{m\left( {\frac{{{v^2}}}{R} + g} \right)}} = \frac{{\left( {\frac{{{v^2}}}{R} – g} \right)}}{{\left( {\frac{{{v^2}}}{R} + g} \right)}}$$

Untuk v = 6 m/s dan jari-jari R = 30 cm = 0,3 m maka diperoleh $$\frac{{{v^2}}}{R} = \frac{{{6^2}}}{{0,3}} = 120$$

Masukkan nilai ini dan g = 10 m/s² ke persamaan di atas maka akan diperoleh : $$\frac{{{T_t}}}{{{T_r}}} = \frac{{\left( {120 – 10} \right)}}{{\left( {120 + 10} \right)}} = \frac{{110}}{{130}} = \frac{{11}}{{13}}$$

Jadi perbandingan antara tegangan tali pada titik tertinggi (T_t) dengan tegangan tali pada titik terendah (T_r) adalah 11 : 13.