Hukum Kirchhoff dalam Kelistrikan

Hukum Kirchhoff merupakan salah satu “alat bantu” yang sangat kita perlukan ketika kita berhadapan dengan soal-soal yang berkaitan dengan rangkaian listrik. Sesuai dengan namanya, hukum ini dikemukakan pertama kali oleh Gustav Robert Kirchhoff, seorang fisikawan Jerman yang hidup dalam kurun waktu 12 Maret 1824 – 17 Oktober 1887.

Bagaimana hukum Kirchhoff ini dapat dikatakan sebagai “alat bantu”?

Mari kita baca lebih jauh.

Arti Penting Hukum Kirchhoff

Untuk melihat dan mengapresiasi bagaimana manfaat hukum Kichhoff saat kita menyelesaikan soal-soal yang berkaitan dengan rangkaian listrik, mari kita coba selesaikan dua contoh soal rangkaian listrik sederhana berikut.

Soal 1

Pada rangkaian listrik berikut,

Jika $\varepsilon = 8\ \ {\rm{volt}}$, R₁ = 3 ohm, R₂ = 2 ohm, dan R₃ = 2 ohm, tentukanlah besar arus listrik yang mengalir pada resistor R₃.

Penyelesaian :

Tentu saja soal ini relatif mudah jika Anda sudah paham tentang hukum Ohm dan mengerti tentang rangkaian seri-rangkaian paralel.

Arus yang mengalir pada resistor R₃ tidak lain adalah arus total rangkaian. Arus total ini dapat dengan mudah diperoleh dengan menggunakan hukum Ohm: $$V = IR$$

Dengan V adalah besarnya beda potensial dalam rangkaian, I adalah arus listrik yang mengalir dalam rangkaian, dan R adalah hambatan rangkaian. Jika R ini adalah hambatan total rangkaian, dan V adalah beda potensial total dalam rangkaian, maka I tentu saja adalah arus total.

Dalam konteks soal di atas, arus total inilah yang mengalir pada R₃ sehingga untuk menjawab pertanyaan soal ini, kita terlebih dahulu harus menentukan R total.

Dari gambar, kita bisa melihat bahwa R total rangkaian kita adalah jumlah antara hambatan pengganti R₁ dan R₂ yang tersusun secara paralel  yang seri dengan hambatan R₃. Untuk kita tentukan dahulu hambatan pengganti R₁ yang seri dengan R₂ sebagai berikut. $$\frac{1}{{{R_s}}} = \frac{1}{{{R_1}}} + \frac{1}{{{R_2}}} = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{5}{6}\,\, \Rightarrow \,\,{R_s} = \frac{6}{5}\,\,\Omega $$

Selanjutnya, karena hambatan pengganti R_s ini seri dengan R₃ maka $${R_{tot}} = {R_s} + {R_3} = \frac{6}{5} + 2 = \frac{6}{5} + \frac{{10}}{5} = \frac{{16}}{5} = 3,2\ \Omega $$

Karena beda potensial dalam rangkaian adalah 8 volt, maka arus total adalah $$V = IR\ \ \Rightarrow \ \ I = \frac{V}{R} = \frac{8}{{3,2}} = 2,5\ {\rm{A}}$$

Dan arus inilah yang mengalir dalam hambatan R₃.

Jadi, arus yang mengalir pada hambatan R₃ adalah 2,5 ampere.

Sekarang kita melangkah ke soal no. 2. Pada soal ini kita ubah sedikit gambar rangkaian dalam soal 1 di atas dengan menyisipkan sebuah sumber tegangan tambahan dalam rangkaian.

Soal 2

Pada rangkaian listrik berikut,

Jika ${\varepsilon _1} = 8\ {\rm{volt}},\ {\varepsilon _2} = 10\ {\rm{volt}}$, R₁ = 3 ohm, R₂ = 2 ohm, dan R₃ = 2 ohm, tentukanlah besar arus listrik yang mengalir pada resistor R₃.

Penjelasan:

Nah, sekarang kita punya masalah: bagaimana menentukan arus total dalam rangkaian? Yaitu arus yang mengalir dalam R₃?

R₁ dan R₂ tidak dapat kita gabungkan menjadi sebuah hambatan pengganti seperti soal sebelumnya karena kedua hambatan ini tidak lagi tersusun secara paralel akibat keberadaan sumber tegangan ${\varepsilon _2}$. Keduanya juga tidak tersusun secara seri.

Lantas bagaimana kita menyelesaikan soal ini?

Di sinilah hukum Kirchhoff berperan membantu kita.

Dengan hukum Kirchhoff, persoalan di atas akan dapat kita selesaikan.

Namun, untuk sementara, kita tangguhkan penyelesaiannya sebelum kita mengemukakan bagaimana bunyi hukum Kirchhoff itu.

Bunyi Hukum Kirchhoff

Hukum Kirchhoff atau biasa juga disebut sebagai aturan Kirchoff, terdiri atas dua bagian, yaitu hukum Kirchoff 1 dan hukum Kirchhoff 2.

Bagaimana bunyi hukum Kirchhoff 1?

Hukum Kirchhoff 1 mengatakan bahwa :

Apabila kita berjalan mengelilingi sebuah loop tertutup (loop adalah bahasa Inggris yang dalam bahasa Indonesia berarti untai atau lintasan), maka jumlah aljabar perubahan potensial yang kita temui sepanjang loop tersebut harus sama dengan nol.

Hukum Kirchhoff 1 merupakan akibat langsung dari medan listrik E yang bersifat konservatif.

Karena hukum Kirchhoff 1 ini berkaitan dengan tegangan atau beda potensial dalam sebuah loop tertutup, maka hukum Kirchhoff 1 sering pula disebut dengan hukum Kirchhoff tentang tegangan.

Bagaimana dengan hukum Kirchhoff 2?

Hukum Kirchhoff 2 mengatakan bahwa:

Pada sebuah titik percabangan dalam sebuah rangkaian listrik, dimana arus listrik terbagi pada titik percabangan tersebut, maka jumlah arus yang menuju ke titik percabangan harus sama dengan jumlah arus yang meninggalkan titik percabangan tersebut.

Jika hukum 1 Kirchhoff sebelumnya adalah akibat langsung dari medan listrik E yang bersifat konservatif, maka hukum 2 Kirchhoff ini merupakan akibat langsung dari kekekalan muatan listrik.

Gambar berikut ini menunjukkan sebuah titik percabangan yang merupakan titik persambungan tiga buah kawat yang masing-masing mengalirkan arus I₁, I₂ dan I₃.

Karena muatan-muatan tidak mungkin muncul dari titik a dalam gambar di atas dan tidak mungkin pula akan berkumpul di titik tersebut, maka pada titik a harus berlaku bahwa: $${I_1} = {I_2} + {I_3}$$

Hal ini sesuai dengan hukum Kirchhoff 2.

Karena hukum Kirchhoff 2 berkaitan dengan arus pada titik percabangan, maka hukum Kirchhoff 2 ini disebut juga hukum Kirchhoff tentang arus.

Nah, itulah dua hukum Kirchhoff yang sangat bermanfaat untuk menyelesaikan soal-soal dalam rangkaian listrik.

Contoh soal penerapan hukum Kirchhoff 1 dan hukum Kirchhoff 2

Untuk melihat contoh penggunaan hukum Kirchhoff 1 dan 2 kita kembali ke soal nomor 2 kita sebelumnya, yang diperlihatkan kembali pada gambar di bawah ini.

Pada rangkaian di atas, ada tiga loop yang dapat kita pilih: yaitu loop rangkaian besar, loop kecil sebelah kiri, dan loop kecil sebelah kanan seperti diperlihatkan masing-masing dalam gambar berikut.

 

Mari kita pilih loop besar dan menerapkan hukum Kirchhoff 1 pada loop tersebut untuk menyelesaikan soal ini.

Langkah pertama yang harus kita lakukan dalam menerapkan hukum Kirchhoff 1 adalah kita harus menentukan terlebih dahulu arah arus yang mengalir pada tiap bagian dalam rangkaian. Arah arus dipilih sembarang saja. Jika hasil terakhir arus yang diperoleh bernilai negatif, maka arah arus pilihan kita tinggal dibalik saja arahnya.

Nah, sekarang kita tetapkan arah arus-arus dalam rangkaian kita seperti pada gambar berikut ini. Anggap arah arus bernilai positif jika searah dengan arah jarum jam (seperti arah arus I₁) dan negatif jika sebaliknya (seperti arah arus I₂).

Sekarang untuk menerapkan hukum Kirchhoff, bayangkan kita berjalan dari kutub positif sumber tegangan  dan berjalan mengelilingi loop besar searah dengan arah jarum jam.

Saat kita tiba pada hambatan R₂, arus mengalir pada hambatan tersebut adalah I₂. Karena arah arus I₂ berlawan dengan arah berjalan kita, ini berarti di R₂ kita menghadapi kenaikan potensial yaitu sebesar + I₂R₂.

Selanjutnya, saat melintasi beda potensial ${\varepsilon _2}$ kita mengalami penurunan tegangan sebesar $ -{\varepsilon _2}$.

Kemudian kita tiba di hambatan R₃.

Perhatikan bahwa di R₃ ini arus yang mengalir adalah I₁. Sesuai dengan arah I₁, saat kita melintasi hambatan R₃ kita mengalami penurunan potensial yaitu – I₁R₃.

Dan, akhirnya kita tiba di kutub negatif ${\varepsilon _1}$.

Saat melintasi beda potensial  ${\varepsilon _1}$ untuk kembali ke titik start, kita mengalami kenaikan tegangan +${\varepsilon _1}$ . Nah, menurut aturan Kirchhoff 1 yang telah kita kemukakan, bahwa: jumlah aljabar potensial yang kita temui dalam perjalanan tadi harus bernilai nol, maka kita kita dapat menuliskan persamaan berikut sebagai hasil perjalanan kita mengitari loop besar: $${I_2}{R_2} + \left( { – {\varepsilon _2}} \right) + \left( { – {I_1}{R_3}} \right) + {\varepsilon _1} = 0\ \ \Rightarrow \ \ {I_2}{R_2} – {I_1}{R_3} = {\varepsilon _2} – {\varepsilon _1}$$

Dengan memasukkan nilai-nilai yang diberikan, diperoleh: $$2{I_2} – 2{I_1} = 10 – 8\ \ \Rightarrow \ \ 2{I_2} – 2{I_1} = 2\ \ …\ \ (1)$$

Dengan hanya satu persamaan di atas, tentu saja kita tidak akan bisa menghitung I₁ yaitu arus yang mengalir di R₃. Jadi kita perlu minimal satu persamaan lagi yang mengandung variabel I untuk bisa menentukan I₁.

Persamaan tersebut dapat diperoleh dengan meninjau loop kecil kiri.

Tinjau loop kecil kiri. Bayangkan kita kembali berjalan mulai dari kutub positif  mengelilingi loop kecil kiri searah jarum jam.

Dengan cara yang sama dengan sebelumnya, kita dapat menuliskan persamaan : $$ – {I_3}{R_1} – {I_1}{R_3} + 8 = 0\ \  \Rightarrow \ \ 3{I_3} + 2{I_1} = 8\ \ …\ \ (2)$$

Pada persamaan di atas, ternyata muncul variabel arus yang baru yaitu I₃. Karena dari dua persamaan kita ada tiga variabel yang tidak diketahui, maka kita harus punya satu persamaan lagi untuk bisa menghitung satu dari ketiga variabel tersebut yakni I₁. Persamaan ini kita peroleh dengan menggunakan hukum Kirchhoff 2 pada titik persambungan (titik P dalam gambar rangkaian di atas).

Di titik P, hukum Kirchhoff 2 mengharuskan bahwa: $${I_1} + {I_2} = {I_3}\ \ …\ \ (3)$$

Sekarang dengan ketiga persamaan di atas, kita dapat menentukan I₁.

Substitusikan persamaan (3) ke dalam persamaan (2) kita peroleh $$3{I_3} + 2{I_1} = 8\ \ \Rightarrow \ \ 3\left( {{I_1} + {I_2}} \right) + 2{I_1} = 8$$

Atau $$3{I_2} + 5{I_1} = 8\ \ …\ \ (4)$$

Dengan menggunakan persamaan (4) dan (1) kita dapat mengeliminasi I₂ untuk mendapatkan I₁, sebagai berikut.

Atau diperoleh $${I_1} = \frac{{10}}{{16}} = 0,625\ \cong 0,63\ {\rm{A}}$$

Jadi arus yang mengalir pada resistor R₃ adalah 0,63 A.

Soal 3.

Pada gambar berikut,

1. tentukan arus pada tiap-tiap cabang dalam rangkaian.
2. Tetapkan potensial V = 0 di titik c dan carilah potensial pada titik-titik lainnya mulai dari titik a hingga f.

Penyelesaian :

Pertama, perhatikan bahwa hambatan 3 ohm dan 6 ohm pada bagian bawah rangkaian tersusun secara paralel dan dapat digantikan dengan sebuah hambatan pengganti yang dapat ditentukan sebagai berikut. $$\frac{1}{{{R_p}}} = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6}\ \ \Rightarrow \ \ {R_p} = \frac{6}{3} = 2\ \ \Omega $$

Rangkaian kita akan tampak seperti gambar berikut ini.

Selanjutnya kita tetapkan arus dan arahnya yang mengalir pada tiap-tiap bagian dalam rangkaian kita. Penentuan arus dan arahnya telah diperlihatkan dalam gambar di atas.

Titik b dalam gambar di atas merupakan sebuah titik persambungan. Menurut hukum Kirchhoff 2, pada titik tersebut harus berlaku: $${I_1} = {I_2} + {I_3}\ \ …\ \ (1)$$

Mari kita pilih loop yang akan kita gunakan untuk menuliskan persamaan hukum Kirchhoff 1. Pilihan loop bebas. Kita ambil loop kecil sebelah kiri yaitu loop abefa.

Bayangkan kita bergerak dari titik a searah jarum jam mengelilingi loop pilihan kita.

Berdasarkan hukum Kirchhoff 2, kita akan memperoleh persamaan berikut. $$ – 12{I_1} – 6{I_3} + 18 = 0\ \  \Rightarrow \ \ 12{I_1} + 6{I_3} = 18$$

Persamaan di atas dapat disederhanakan dengan membagi tiap-tiap suku dengan 6, diperoleh : $$2{I_1} + {I_3} = 3\ \ …\ \ (2)$$

Selanjutnya kita tinjau loop bcde dan kita berjalan searah dengan arah jarum jam.

Dengan menerapkan hukum Kirchhoff 2, kita akan memperoleh persamaan : $$ – 3{I_2} + 21 – 2{I_2} + 6{I_3} = 0\ \  \Rightarrow \ \ 5{I_2} – 6{I_3} = 21\ \ …\ \ (3)$$

Tuliskan persamaan (1) untuk I₂ yaitu: $${I_1} = {I_2} + {I_3}\ \ \Rightarrow \ \ \ {I_2} = {I_1} – {I_3}$$

Substitusikan hasil di atas ke dalam persamaan (3) sehingga diperoleh: $$5\left( {{I_1} – {I_3}} \right) – 6{I_3} = 21\ \  \Rightarrow \ \ 5{I_1} – 5{I_3} – 6{I_3} = 21$$

Atau $$5{I_1} – 11{I_3} = 21\ \ …\ \ (4)$$

Dengan menggunakan persamaan (2) dan (4), kita dapat mengeliminasi I₁ untuk menentukan I₃ sebagai berikut.

Atau $${I_3} = \frac{{ – 27}}{{27}} = – 1\ \ {\rm{A}}$$

Karena arus I₃ bernilai negatif, maka arah arus I₃ ini sebenarnya berlawanan arah dengan arah yang dalam gambar.

Selanjutnya, hasil I₃ = -1 A  ini kita substitusi ke dalam persamaan (2) atau (4) untuk memperoleh nilai I₁.

Dari persamaan (2): $$2{I_1} + {I_3} = 3\ \ \Rightarrow \ \ 2{I_1} + \left( { – 1} \right) = 3\ \ \Rightarrow \ \ 2{I_1} = 3 + 1 = 4$$

Atau $${I_1} = \frac{4}{2} = 2\ {\rm{A}}$$

Selanjutnya, nilai I₃ dan I₁ ini kita substitusikan ke dalam persamaan (1) untuk menentukan I₂ diperoleh: $${I_1} = {I_2} + {I_3}\ \ \Rightarrow \ \ {I_2} = {I_1} – {I_3} = 2 – \left( { – 1} \right) = 3\ {\rm{A}}$$

Jadi, kita peroleh: I₁ = 2 A, I₂ = 3 A, dan I₃ = -1 A (tanda negatif pada arus I₃ ini menunjukkan bahwa arah arus dalam gambar kita berlawanan arah dengan yang seharusnya).

Eit… Tugas kita belum selesai.

Di bagian bawah rangakaian ada percabangan juga: ada arus yang melewati hambatan 3 ohm dan ada yang melewati hambatan 6 ohm di bawahnya.

Arus total yang  melewati hambatan gabungan keduanya telah diketahui sebesar I₂ = 3 ampere. Karena hambatan penggantinya adalah R_p = 2 ohm, maka beda potensial di antara titik d dan e tersebut adalah $$V = {I_2}{R_p} = 3 \times 2 = 6\ {\rm{volt}}$$

Sekarang kita dapat menghitung arus yang melewati hambatan 3 ohm yaitu: $$V = IR\ \ \Rightarrow \ \ I = \frac{V}{R} = \frac{6}{3} = 2\ {\rm{A}}$$

Sedangkan yang melewati hambatan 6 ohm adalah $$I = \frac{V}{R} = \frac{6}{6} = 1\ {\rm{A}}$$

Selanjutnya, untuk menjawab pertanyaa bagian (b) kita gambarkan rangkaian kita kembali lengkap dengan arus masing-masing yang telah kita ketahui nilainya seperti diperlihatkan dalam gambar berikut ini.

Pada gambar di atas, kita tetapkan titik c memiliki nilai potensial V_c = 0 dan selanjutnya kita akan menentukan potensial pada titik-titik lainnya.

Mari kita mulai bergerak dari titik c se arah jarum jam. Dengan titik c pada potensial V = 0, maka titik d akan berada pada potensial + 21 volt atau kita tuliskan V_d = 21 volt.

Titik e memiliki potensial : V_cd + V_de = 21 volt – (I₂)(2) = 21 volt – (3)(2) = 15 volt. Jadi V_e = 15 volt.

Titik e dan titik f berada pada potensial yang sama sehingga V_f = V_e = 15 volt.

Titik a berada pada potensial : V_cd + V_de + ${\varepsilon _1}$ = 15 volt + 18 volt = 33 volt. Jadi V_a = 33 volt

Sedangkan titik b akan berada pada potensial : V_cd + V_de + ${\varepsilon _1}$ + V_ab = 33 – (I₁)(12) = 33 – (2)(12) = 9 volt. Jadi V_b = 9 volt.

Perhatikan jika kita berjalan dalam arah sebaliknya dari titik c, maka untuk potensial b terhadap c adalah 3I₂ potensial ini bernilai positif sehingga diperoleh : V_bc = (3)(3) = 9 volt seperti sebelumnya. Dan seterusnya akan kita peroleh nilai yang sama untuk V_a, V_f, V_e dan V_d.

Nah, itulah beberapa contoh penggunaan hukum Kirchhoff dalam menganalisis rangkaian.

Sekarang kita sudah melihat bahwa hukum Kirchhoff memang memiliki peran yang sangat penting bagi kita saat kita menyelesaikan soal-soal yang berkaitan dengan rangkaian listrik.

Contoh soal hukum Kirchhoff 1 dan contoh soal hukum Kirchhoff 2 lainnya dapat Anda pelajari pada contoh-contoh soal tentang rangkaian listrik DC yang ada dalam blog ini.

Selamat berselancar di edufisika dan selamat belajar!