Soal Mekanika (1): Gerak Partikel dalam Medan Listrik dan Medan Magnetik

Berikut ini kita akan menyelesaikan soal tentang partikel yang bergerak dalam pengaruh medan listrik dan medan magnetik yang sering dijumpai dalam fisika. Soalnya seperti di bawah ini.

Sebuah partikel bermuatan dengan massa m dan bermuatan positif q bergerak dalam sebuah medan listrik E, dan medan magnetik B, yang kedua-duanya searah dengan sumbu z. Gaya total pada partikel tersebut adalah

Tuliskan persamaan gerak untuk partikel tersebut dan uraikan persamaan gerak tersebut ke dalam ketiga komponen-komponennya. Selesaikan persamaannya dan jelaskan bagaimana bentuk gerak partikel itu.

Penyelesaian

Untuk menentukan persamaan gerak yang diminta, kita menggunakan hukum II Newton.

Seperti biasanya akan memudahkan jika kita menuliskan persamaan II Newton tersebut ke dalam bentuk komponen-komponennya, yaitu komponen sumbu-x, komponen sumbu-y, dan komponen sumbu-z.

Pertama kita tentukan dahulu komponen-komponen vektor hasil kali kecepatan dengan medan magnet.

Anggap vektor kecepatan dinyatakan dengan ${\mathbf{v}} = {\mathbf{\hat x}}{v_x} + {\mathbf{\hat y}}{v_y} + {\mathbf{\hat z}}{v_z}$ dan komponen vektor medan magnetik dinyatakan dengan ${\mathbf{B}} = {\mathbf{\hat z}}B $

Dengan menggunakan metode determinan matriks, hasil dari ${\mathbf{v}} \times {\mathbf{B}}$ dapat ditentukan sebagai berikut

$${\bf{v}} \times {\bf{B}} = \begin{pmatrix} {\bf{\hat x}} & {\bf{\hat y}} & {\bf{\hat z}} \\ {v_x} & {v_y} & {v_z} \\ 0 & 0 & B \end{pmatrix} = B{v_y}{\bf{\hat x}} – B{v_x}{\bf{\hat y}}$$ Selanjutnya kita jumlahkan dengan E.

Ingat bahwa E hanya memiliki nilai dalam arah sumbu sumbu z saja atau dapat ditulis ${\bf{E}} = E{\bf{\hat z}}$. Jadi $${\bf{E}} + \left( {{\bf{v}} \times {\bf{B}}} \right) = E{\bf{\hat z}} + B{v_y}{\bf{\hat x}} – B{v_x}{\bf{\hat y}} = B{v_y}{\bf{\hat x}} – B{v_x}{\bf{\hat y}} + E{\bf{\hat z}}$$ Jika persamaan di atas kita kalikan dengan q maka kita peroleh gaya F yaitu $${\bf{F}} = q\left( {{\bf{E}} + \left( {{\bf{v}} \times {\bf{B}}} \right)} \right) = qB{v_y}{\bf{\hat x}} – qB{v_x}{\bf{\hat y}} + qE{\bf{\hat z}}$$ Melihat persamaan di atas, sekarang kita dapat menuliskan hukum II Newton dalam bentuk komponen-komponen sumbu-x, sumbu-y, dan sumbu-z, sebagai berikut.

Untuk sumbu-x: $m{a_x} = qB{v_y}$ atau ${a_x} = \frac{{d{v_x}}}{{dt}} = \frac{{qB}}{m}{v_y}$ … (1.1)

Untuk sumbu-y: $m{a_y} = qB{v_x}$ atau ${a_y} = \frac{{d{v_y}}}{{dt}} = \frac{{qB}}{m}{v_x}$ … (1.2)

Untuk sumbu-z: $m{a_z} = qE$ atau ${a_z} = \frac{{d{v_z}}}{{dt}} = \frac{{qe}}{m}$ … (1.3)

Langkah selanjutnya adalah kita harus menyelesaikan ketiga persamaan di atas untuk mengetahui bagaimana bentuk geraknya.

Persamaan untuk sumbu-z (persamaan [1.3]) adalah persamaan yang paling mudah diselesaikan, yaitu $${a_z} = \frac{{d{v_z}}}{{dt}} = \frac{{qE}}{m}\,\, \Rightarrow \,\,d{v_z} = \frac{{qE}}{m}dt$$ Atau ${v_z} = \frac{{qE}}{m}t$ … (1.4)

Jadi kecepatan partikel dalam arah sumbu z adalah (qE/m)t.

Sekarang, perhatikan persamaan (1.2) dan (1.3). Dalam kedua persamaan ini terdapat variabel v_x dan v_y di dalamnya. Persamaan seperti ini disebut persamaan yang tergandeng karena masing-masing mengandung variabel persamaan yang lainnya.

Kita dapat membayangkan kedua komponen kecepatan ini sebagai komponen dari vektor kecepatan dalam dua dimensi (v_x, v_y) yang tidak lain merupakan proyeksi vektor kecepatan v ke atas bidang xy. Proyeksi komponen kecepatan dalam bidang seperti ini disebut dengan kecepatan transversal.

Dengan anggapan seperti di atas, kita dapat menyelesaikan persamaan tergandeng seperti ini dengan menggunakan metode bilangan kompleks.

Karena kedua kecepatan, vx dan vy, dapat kita anggap sebagai komponen kecepatan dalam bidang, maka kita dapat menuliskannya dalam bentuk bilangan kompleks berikut $$\eta = {v_x} + i{v_y}  … (1.5)$$ Sekarang, kita diferensialkan persamaan di atas terhadap waktu sehingga diperoleh $$\dot \eta = {\dot v_x} + i{\dot v_y}  … (1.6)$$ Substitusikan persamaan (1.1) dan (1.2) ke dalam persamaan (1.6) di atas, dan misalkan $\omega = \frac{{qB}}{m}$, sehingga diperoleh $$\dot \eta = \omega {v_y} – i\omega {v_x} … (1.7)$$ Persamaan (1.7) di atas dapat diubah menjadi $$\dot \eta = – i\omega \left( {{v_x} + i{v_y}} \right)$$ Atau $\frac{{d\eta }}{{dt}} = – i\omega \eta $

Persamaan di atas dapat diselesaikan dengan mudah, yaitu $$\eta = A{e^{ – i\omega t}} … (1.8)$$ Perhatikan bahwa karena persamaan (1.8) adalah bilangan kompleks, maka konstanta A dalam persamaan tersebut juga adalah bilangan kompleks, yang dapat kita nyatakan sebagai $A = a{e^{i\delta }}$ dimana a adalah besar atau modulus atau magnitudo dari A sedangkan adalah sudut A dari sumbu real.

Jika kita masukkan $A = a{e^{i\delta }}$ ke dalam persamaan (1.8), maka kita akan peroleh $$\eta = a{e^{i\delta }}{e^{ – i\omega t}} = a{e^{i\left( {\delta – \omega t} \right)}} … (1.9)$$ Nah, sekarang kita telah menyelesaikan seluruh persamaan hukum II Newton dalam bentuk komponen-komponennya.

Pada arah sumbu-z kecepatan benda adalah ${v_z} = \frac{{qE}}{m}t$ (persamaan [1.4])

Sedangkan untuk arah sumbu-x dan sumbu-y kita telah menyelesaikannya secara serentak dengan menggunakan bilangan kompleks, $\eta = {v_x} + i{v_y}$.

Solusinya adalah $\eta = a{e^{i\delta }}{e^{ – i\omega t}} = a{e^{i\left( {\delta – \omega t} \right)}}$ (persamaan [1.9])

Sekarang kita tinggal menginterpretasi hasil yang kita peroleh.

Persamaan (1.9) menunjukkan bahwa $\eta $ memiliki nilai atau magnitudo yang sama dengan A (yaitu a) tetapi dengan sudut sebesar $\left( {\delta – \omega t} \right)$ dari sumbu real. Karena merupakan fungsi dari waktu, $\eta $ bergerak berlawanan arah dengan arah jarum jam membentuk lintasan berupa lingkaran berjejari a dengan kecepatan putaran $\omega $  yang saman dengan qB/m.

Gambar berikut mengilustrasikan apa yang dinyatakan dalam persamaan (1.9).

Gambar di samping menunjukkan bagaimana fungsi konstanta kompleks $A = a{e^{i\delta }}$ terletak pada lingkaran berjejari a dengan sudut $\delta $ . Fungsi $\eta \left( t \right) = A{e^{ – i\omega t}}$ terletak pada lingkaran yang sama tetapi dengan sudut yang berbeda yaitu $\left( {\delta – \omega t} \right)$ dan bergerak searah jarum jam sepanjang lingkaran saat t semakin besar.

Dengan demikian, karena $\eta $ tidak lain merupakan pernyataan untuk komponen-komponen kecepatan v_x dan v_y yaitu $\eta = {v_x} + i{v_y}$ maka persamaan (1.9) dan interpretasinya sebenarnya menggambarkan kecepatan transversal, yaitu kecepatan v_x dan kecepatan v_y partikel tersebut. Lebih tepatnya, persamaan (1.9) menunjukkan kepada kita bahwa kecepatan partikel dalam bidang x, y (kecepatan transversal) membentuk sebuah lintasan berbentuk lingkaran yang bergerak searah dengan arah jarum jam dengan kecepatan anguler yang konstan sebesar $\omega = qB/m$.

Karena terdapat komponen kecepatan dalam arah sumbu-z, maka sambil berputar pada bidang x-y, partikel juga bergerak sepanjang sumbu z dengan kecepatan sebesar (qE/m)t. Jadi lintasan partikel akan berupa sebuah heliks atau spiral dengan jari-jari yang konstan dalam bidang x-y, dan bergerak sepanjang arah sumbu z dengan kerapatan spiral yang semakin bertambah.

Dapatkah Anda membayangkan bentuk lintasan yang dimaksud?