Soal Mekanika: Gerak Parabola pada Bidang Miring

Sewaktu di sekolah menengah kita sudah akrab dengan soal-soal tentang gerak parabola atau gerak proyektil. Soal-soal tentang gerak parabola yang sering kita selesaikan adalah soal gerak parabola pada bidang yang mendatar. Variasi lain dari soal tentang gerak parabola ini adalah jika gerak parabola tersebut kita terjadi pada bidang miring. Soal seperti ini bisa kita temukan pada pelajaran fisika dasar atau mekanika di perguruan tinggi.

Dalam tulisan kali ini kita akan membahas penyelesaian soal gerak parabola pada bidang miring tersebut.

Soal dan Penyelesaian Gerak Parabola pada Bidang Miring

Sebuah bola dilemparkan ke arah atas sepanjang sebuah bidang miring dengan kelajuan awal v_o. Kemiringan bidang miring tersebut adalah

diukur dari lantai horizontal dan bola dilempar dengan sudut $\theta $ diukur dari bidang miring. Pilihlah sumbu-sumbu koordinat sedemikian sehingga sumbu x terletak sepanjang bidang miring, sumbu y berarah normal terhadap bidang miring, dan sumbu z menembus masuk ke bidang kertas. Carilah posisi bola sebagai fungsi dari waktu dan buktikan bahwa bola akan mendarat pada jarak yang memenuhi persamaan

dari titik awal bola dilempar.

Tunjukkan pula bahwa untuk v_o dan yang diketahui jarak terjauh sepanjang bidang miring yang dapat dicapai oleh bola adalah

Penyelesaian:

Untuk menyelesaikan soal gerak parabola dalam bidang miring ini, terlebih dahulu kita gambarkan situasinya seperti pada gambar berikut.

Gambar 1. Sketsa soal

Menurut hukum II Newton $${\bf{F}} = m{\bf{a}}$$

Kita harus mengidentifikasi terlebih dahulu gaya apa saja yang bekerja pada bola untuk dimasukkan pada ruas kiri persamaan hukum II Newton di atas.

Pada soal ini kita mengabaikan gaya gesekan yang mungkin timbul pada bola, oleh karena itu satu-satunya gaya yang bekerja pada bola adalah gaya berat (gaya gravitasi).

Gambar di samping adalah diagram gaya dan vektor kecepatan pada bola serta penguraian vektor gaya dan vektor kecepatan tersebut pada sumbu koordinat sesuai dengan soal. (Dalam soal ditetapkan bahwa sumbu koordinat diambil sejajar dengan bidang miring, misalkan sumbu tersebut adalah sumbu x, dan sumbu yang tegak lurus bidang miring diambil sebagai sumbu y).

Berdasarkan gambar diagram gaya tersebut, tampak bahwa gaya berat memiliki komponen baik dalam sumbu yang sejajar bidang miring (sumbu x) maupun sumbu yang tegak lurus dari bidang miring (sumbu y).

Komponen gaya pada sumbu yang sejajar bidang miring : ${F_x} = mg\sin \phi $

Komponen gaya pada sumbu yang tegak lurus : ${F_y} = mg\cos \phi $

Sekarang kita akan menuliskan hukum II Newton untuk sumbu-sumbu koordinat sesuai dengan yang diminta, yaitu sepanjang sumbu yang sejajar bidang miring sebagai sumbu x dan tegak lurus bidang miring sebagai sumbu y.

Hukum II Newton pada sumbu yang sejajar bidang miring (sumbu x):

$ – mg\sin \phi = m{a_x}\,\,\,\,\,{\rm{atau}}\,\,\,\,\,{a_x} = – g\sin \phi \,\,\,\,\, (1.1)$

Hukum II Newton pada sumbu yang tegak lurus bidang miring (sumbu y):

$ – mg\cos \phi = m{a_y}\,\,\,\,\,{\rm{atau}}\,\,\,\,\,{a_y} = – g\cos \phi \,\,\,\,\, (1.2)$

Untuk membuktikan persamaan yang menyatakan bahwa bola akan mendarat pada jarak yang memenuhi persamaan $$R = \frac{{2v_o^2\sin \theta \cos \left( {\theta + \phi } \right)}}{{g{{\cos }^2}\phi }}$$ maka kita terlebih dahulu harus menentukan berapa lama bola berada di udara. Lama bola di udara dapat ditentukan dari persamaan posisi bola setiap saat sepanjang sumbu y. Persamaan lama bola di udara selanjutnya kita substitusikan ke dalam persamaan yang menyatakan posisi pola setiap saat sepanjang sumbu x untuk mendapatkan persamaan yang ingin dibuktikan.

Sekarang kita akan menyelesaikan persamaan (1.1) dan (1.2) untuk mendapatkan persamaan posisi bola setiap saat baik sepanjang sumbu y maupun sepanjang sumbu x.

Untuk sumbu x

Dari persamaan (1.1) kita tuliskan menjadi ${a_x} = \frac{{d{v_x}}}{{dt}} = – g\sin \phi $ atau $d{v_x} = – g\sin \phi \,\,dt$.

Dengan mengintegralkan persamaan tersebut dari kecepatan v_x = 0 pada saat t = 0 sampai kecepatannya bernilai v_x saat waktu t akan kita peroleh ${v_x} = {v_{ox}} – \left( {g\sin \phi } \right)t$.

Selanjutnya, v_x dapat dituliskan menjadi ${v_x} = \frac{{dx}}{{dt}} = {v_{ox}} – \left( {g\sin \phi } \right)t$  atau $dx = \left( {{v_{ox}} – \left( {g\sin \phi } \right)t} \right)dt$

Dengan mengintegralkannya akan diperoleh

$$x = {x_o} + {v_{ox}}t – \frac{1}{2}g\sin \phi \,{t^2}\,\,\,\,\, (1.3)$$

Untuk sumbu y

Perhatikan bentuk persamaan (1.2) yang sama dengan persamaan (1.1) sehingga hasil yang akan diperoleh untuk sumbu y akan serupa dengan hasil-hasil yang telah diperoleh untuk sumbu x kecuali sin yang diganti dengan cos , dan variabel lain menyesuaikan, misalnya x menjadi y, v_ox menjadi v_oy dan sebagainya.

Jadi, persamaan untuk kecepatan bola sepanjang sumbu y, dan posisi bola sepanjang sumbu y, masing-masing adalah $${v_y} = {v_{oy}} – \left( {g\cos \phi } \right)t$$ dan $$y = {y_o} + {v_{oy}}t – \frac{1}{2}g\cos \phi \,{t^2}\,\,\,\,(1.4)$$ Sekarang, kita selesaikan persamaan (1.4) untuk menentukan persamaan lama bola di udara dengan mengambil y = 0. Misalkan pula y_o = 0 sehingga: $$ {v_{oy}}t – \frac{1}{2}g\cos \phi \ {t^2} = 0 $$  $$t\left( {{v_{oy}} – \frac{1}{2}g\cos \phi \ t} \right) = 0 $$

Agar persamaan di atas bernilai nol, kita dapat mengambil t = 0 atau $\left( {{v_{oy}} – \frac{1}{2}g\cos \phi \ t} \right) = 0$

Agar kita memiliki persamaan untuk t maka kita ambil pilihan yang kedua yaitu $$\left( {{v_{oy}} – \frac{1}{2}g\cos \phi \ t} \right) = 0$$ Dengan menyelesaikannya untuk t, kita peroleh $$t = \frac{{2{v_{oy}}}}{{g\cos \phi }}\ \ \ (1.5)$$ Sekarang, kita substitusikan persamaan (1.5) ke dalam persamaan (1.3) untuk mendapatkan jarak pendaratan bola.

Dari persamaan (1.3) dengan mengambil x_o = 0 maka $$x = {v_{ox}}t – \frac{1}{2}g\sin \phi \ {t^2}$$

Substitusi persamaan (1.5) ke dalam (1.3) $$x = {v_{ox}}\left( {\frac{{2{v_{oy}}}}{{g\cos \phi }}} \right) – \frac{1}{2}\left( {g\sin \phi } \right){\left( {\frac{{2{v_{oy}}}}{{g\cos \phi }}} \right)^2}$$ Karena v_ox = v_o cos $\theta $ dan v_oy = v_o sin $\theta $, maka $$x = \frac{{2{v_o}^2\cos \theta \sin \theta }}{{g\cos \phi }} – \frac{1}{2}\left( {g\sin \phi } \right)\left( {\frac{{4v_o^2{{\sin }^2}\theta }}{{{g^2}{{\cos }^2}\phi }}} \right)$$

Dengan menggunakan identitas trigonometri cos(A+B) = cos A cos B – sin A sin B, maka kita bisa menuliskan persamaan di atas menjadi $$x = R = \frac{{2v_o^2\sin \theta \cos \left( {\theta + \phi } \right)}}{{g{{\cos }^2}\phi }}$$ Selanjutnya kita akan menunjukkan bahwa untuk v_o dan yang diketahui, maka jarak terjauh sepanjang bidang miring yang dapat dicapai oleh bola adalah $${R_{maks}} = \frac{{v_o^2}}{{\left[ {g\left( {1 + \sin \phi } \right)} \right]}}$$

Karena v_o dan telah diketahui, maka jarak terjauh ditentukan oleh . Untuk menentukan jarak terjauh ini, kita harus menentukan turunan R terhadap dan menyamakannya dengan nol. Dari prosedur ini, kita akan memperoleh nilai yang akan menyebabkan R maksimum. Dengan menyubstitusikan nilai yang diperoleh ke dalam R, kita akan mendapatkan R maksimum.

Pertama, kita cari turunan R terhadap dan menyamakannya dengan nol. $$\frac{{dR}}{{d\theta }} = \frac{{2v_o^2\cos \theta \cos \left( {\theta + \phi } \right)}}{{g{{\cos }^2}\phi }} + \frac{{2v_o^2\sin \theta \left( { – \sin \left( {\theta + \phi } \right)} \right)}}{{g{{\cos }^2}\phi }}$$  $$\frac{{dR}}{{d\theta }} = \frac{{2v_o^2}}{{g{{\cos }^2}\phi }}\left( {\cos \theta \cos \left( {\theta + \phi } \right) – \sin \theta \sin \left( {\theta + \phi } \right)} \right)$$

Dengan menggunakan identitas trigonometri cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B, maka suku dalam kurung pada persamaan di atas dapat ditulis menjadi $\cos \left( {\theta + \theta + \phi } \right) = \cos \left( {2\theta + \phi } \right)$ sehingga $$\frac{{dR}}{{d\theta }} = \frac{{2v_o^2}}{{g{{\cos }^2}\phi }}\cos \left( {2\theta + \phi } \right)$$

Dari persamaan di atas, dR/d akan bernilai nol jika $\cos \left( {2\theta + \phi } \right) = 0$ atau $2\theta + \phi = \frac{1}{2}\pi $ sehingga diperoleh $\theta = \left( {\frac{\pi }{4} – \frac{\phi }{2}} \right)$.

Selanjutnya kita substitusi nilai yang telah kita peroleh ke dalam persamaan untuk R $${R_{maks}} = \frac{{2v_o^2\sin \left( {\frac{\pi }{4} – \frac{\phi }{2}} \right)\cos \left( {\frac{\pi }{4} + \frac{\phi }{2}} \right)}}{{g{{\cos }^2}\phi }}$$ Dengan menggunakan rumus trigonometri sin (A – B) = sin A cos B – sin B cos A dan cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B, maka $$\sin \left( {\frac{\pi }{4} – \frac{\phi }{2}} \right)\cos \left( {\frac{\pi }{4} + \frac{\phi }{2}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\left( {\cos \frac{\phi }{2} – \sin \frac{\phi }{2}} \right)\frac{{\sqrt 2 }}{2}\left( {\cos \frac{\phi }{2} – \sin \frac{\phi }{2}} \right) = \frac{1}{2}{\left( {\cos \frac{\phi }{2} – \sin \frac{\phi }{2}} \right)^2}$$
$$\sin \left( {\frac{\pi }{4} – \frac{\phi }{2}} \right)\cos \left( {\frac{\pi }{4} + \frac{\phi }{2}} \right) = \frac{1}{2}\left( {{{\cos }^2}\frac{\phi }{2} – 2\sin \frac{\phi }{2}\cos \frac{\phi }{2} + {{\sin }^2}\frac{\phi }{2}} \right) = \frac{1}{2}\left( {1 – 2\sin \frac{\phi }{2}\cos \frac{\phi }{2}} \right)$$

Ingat bahwa 2 sin A cos A = sin 2A sehingga $1 – 2\sin \frac{\phi }{2}\cos \frac{\phi }{2} = 1 – \sin \phi $

Jadi, $${R_{maks}} = \frac{{2v_o^2\sin \left( {\frac{\pi }{4} – \frac{\phi }{2}} \right)\cos \left( {\frac{\pi }{4} + \frac{\phi }{2}} \right)}}{{g{{\cos }^2}\phi }} = \frac{{2v_o^2}}{{g{{\cos }^2}\phi }}\,\,\frac{1}{2}\left( {1 – \sin \phi } \right)$$

Atau $$\boxed{{R_{maks}} = \frac{{2v_o^2(1 – \sin \phi )}}{{2g\left( {1 – {{\sin }^2}\phi } \right)}} = \frac{{v_o^2\left( {1 – \sin \phi } \right)}}{{g\left( {1 – \sin \phi } \right)\left( {1 + \sin \phi } \right)}} = \frac{{v_o^2}}{{g\left( {1 + \sin \phi } \right)}}}$$

Nah, itulah contoh soal dan penyelesaian tentang gerak parabola dalam bidang miring. Jika Anda punya versi soal atau penyelesaian yang lainnya, Anda bisa menuliskannya di komentar.